C, PHP, VB, .NET

Задача: Даден е хиперкуб в n-мерното пространство със страна 2a единици. В него е вписана произволна хиперсфера с радиус r≤a (хиперсферата с радиус „a“ е максимално голямата хиперсфера, която може да се впише в този хиперкуб). Каква е вероятността произволна точка от хиперкуба да попадне в хиперсферата?

Решение: Ще използваме формулите за обем на хиперсфера от предишната статия, които отговарят съответно на случаите при n=2k или n=2k+1: Прочети още…

.

Задача 1: Даден е кръг в двумерното пространство с радиус 1. В този кръг е вписан квардрат със страна произволно число a≤√2 (за да лежи изцяло вътре в окръжността е очевидно, че страната на квадрата не може да превишава 2/√2, защото това е най-големият възможен вписан квадрат). Каква е вероятността произволна точка от кръга да попадне в квадрата?

Решение: Геометричната вероятност очевидно е лицето на квадрата разделено на лицето на кръга, т.е. a²/π. Да, но a може да се мени от 0 до √2, следователно вероятността е: Прочети още…

.

Нека решим още няколко задачи свързани с хиперсфери, като продължение на миналата тема за вероятност на „n“ точки в „полухиперсфера“. Ще разгледаме „обратната“ (не случайно я наричам така) задача за намиране на вероятността центъра на окръжността да лежи вътре в многостена определен от точките. Вече решавахме една такава задача в двумерното пространство с окръжност и три точки, четири и n точки (виж задачи 1, 4 и 5 от положения на „n“ точки в окръжност). Нека разгледаме следната задача за тримерното пространство: Прочети още…

.

Забележка: В тази статия съм изказал хипотеза, които не съм доказал строго. Възможно е решенията на задачите и изводите от тях да не са вярни, защото те стъпват на тази хипотеза! Надявам се да не се изложа, но още повече се надявам да не подведа никой. Приемете тази статия като „несигурна чернова“.

От предишната статия в Задача 3 използвахме, че една точка в окръжност и центъра на окръжността определят две полуокръжности, две точки и центъра определят четири полуокръжности, …, n точки и центъра определят 2n полуокръжности. Това е естествено, защото всяка избрана лежаща на окръжността точка и центъра на окръжноста определят права, която разделя окръжността на две равни части. Как стои положението в тримерното пространство при сфера?

Очевидно е, че една точка лежаща върху повърхнината на сферата и центъра не са достатъчни, за да се определи полусфера. Представете си например Земята и точката на северния полюс – през нея може да минават безброй много паралели, всеки един от които определя полусфера. При две точки нележащи на един диагонал обаче полусфера може да се определи еднозначно. Това също е логично, защото тези две точки заедно с центъра на окръжността определят еднозначно една равнина, която разделя сферата на две полусфери. Ето пример: Прочети още…

.

Задача 1: Дадена е окръжност с радиус 1. Избираме три произволни точки A, B и C, които лежат на нея. Каква е вероятността триъгълникът ABC да съдържа центъра на окръжността?

Решение: Всеки две произволни точки върху окръжност я разделят на две дъги – къса и дълга. Без да ограничаваме решенията обозначаваме тези две точки с A и B. Нека късата дъга AB е с дължина „x“. Прекарваме лъчи AO и BO, които пресичат окръжността съответно в точки A’ и B’. Ако точка C лежи в дъгата A’B’, то центъра на окръжността ще бъде вътрешна точка за нея: Прочети още…

.

Задача 1: Дадено е квадратно уравнение x²+px+q=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Ще направим координатна система, в която по абцисата ще нанасяме параметрите p, а по ординатата параметрите q. Условията 0≤p≤1 и 0≤q≤1 образуват множество от точки квадрат.

Квадратното уравнение от условието ще има реални корени тогава и само тогава, когато дискриминантата му D=p²-4q e по-голяма или равна на нула. Следователно p²≥4q, т.е. q≤p²/4. Начертаваме графика: Прочети още…

.

Задача 1: Иван и Петър си намислят произволно цяло число от 1 до 10. Каква е вероятността числото на Петър да е строго по-голямо от числото на Иван и в същото време Петър да е избрал число строго по-малко от 5?

Решение: Подобно на решенията от миналите задачи ще нанасяме избора на Иван по хоризонтала и изборът на Петър по вертикала. Оцветената в зелено област определя въриантите, в които условието е изпълнено: Прочети още…

.

Задача 1: Иван и Петър си намислят произволно цяло число от 1 до 10. Каква е вероятността числото на Петър да е строго по-голямо от числото на Иван?

Решение: Построяваме координатна система с начало точка (1,1), в която по оста x (хоризонталата) ще нанасяме избраното число от Иван, а по оста y (вертикалата) избраното число от Петър. Получава се квадрат от възможни точки: Прочети още…

.

В задачата за счупената на три парчета пръчка можехме да „чупим“ пръчката на произволно място. А какво ще се получи ако можем да чупим пръчката на предварително зададени точки, от които можем да си избираме произволно? Ето как ще формулираме такава задача: Прочети още…

.

Задача 1: Двама приятели всеки ден пътуват с автобус до работата си. В зависимост от това кой кога е станал те обикновено пристигат на спирката на рейса произволно между 8:00 и 8:20 сутринта. И двамата са склонни да се изчакват един друг, за да пътуват заедно, но максимум до 5 минути. Каква е вероятността да пътуват заедно? Приемаме, че непрекъснато пристигат и заминават автобуси. Прочети още…

.