C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


Категория ‘Вероятности’

* Вероятност за n точки в полухиперсфера

Публикувано на 17 декември 2010 в раздел Вероятности.

Забележка: В тази статия съм изказал хипотеза, които не съм доказал строго. Възможно е решенията на задачите и изводите от тях да не са вярни, защото те стъпват на тази хипотеза! Надявам се да не се изложа, но още повече се надявам да не подведа никой. Приемете тази статия като „несигурна чернова“.

От предишната статия в Задача 3 използвахме, че една точка в окръжност и центъра на окръжността определят две полуокръжности, две точки и центъра определят четири полуокръжности, …, n точки и центъра определят 2n полуокръжности. Това е естествено, защото всяка избрана лежаща на окръжността точка и центъра на окръжноста определят права, която разделя окръжността на две равни части. Как стои положението в тримерното пространство при сфера?

Очевидно е, че една точка лежаща върху повърхнината на сферата и центъра не са достатъчни, за да се определи полусфера. Представете си например Земята и точката на северния полюс – през нея може да минават безброй много паралели, всеки един от които определя полусфера. При две точки нележащи на един диагонал обаче полусфера може да се определи еднозначно. Това също е логично, защото тези две точки заедно с центъра на окръжността определят еднозначно една равнина, която разделя сферата на две полусфери. Ето пример: Прочети още…

.

 


* Положения на n точки върху окръжност

Публикувано на 17 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Дадена е окръжност с радиус 1. Избираме три произволни точки A, B и C, които лежат на нея. Каква е вероятността триъгълникът ABC да съдържа центъра на окръжността?

Решение: Всеки две произволни точки върху окръжност я разделят на две дъги – къса и дълга. Без да ограничаваме решенията обозначаваме тези две точки с A и B. Нека късата дъга AB е с дължина „x“. Прекарваме лъчи AO и BO, които пресичат окръжността съответно в точки A’ и B’. Ако точка C лежи в дъгата A’B’, то центъра на окръжността ще бъде вътрешна точка за нея: Прочети още…

.

 


* Вероятности с квадратно уравнение

Публикувано на 16 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Дадено е квадратно уравнение x2+px+q=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Ще направим координатна система, в която по абцисата ще нанасяме параметрите p, а по ординатата параметрите q. Условията 0≤p≤1 и 0≤q≤1 образуват множество от точки квадрат.

Квадратното уравнение от условието ще има реални корени тогава и само тогава, когато дискриминантата му D=p2-4q e по-голяма или равна на нула. Следователно p2≥4q, т.е. q≤p2/4. Начертаваме графика: Прочети още…

.

 


* Двойни условия

Публикувано на 15 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Иван и Петър си намислят произволно цяло число от 1 до 10. Каква е вероятността числото на Петър да е строго по-голямо от числото на Иван и в същото време Петър да е избрал число строго по-малко от 5?

Решение: Подобно на решенията от миналите задачи ще нанасяме избора на Иван по хоризонтала и изборът на Петър по вертикала. Оцветената в зелено област определя въриантите, в които условието е изпълнено: Прочети още…

.

 


* По-голямото от две произволни числа

Публикувано на 15 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Иван и Петър си намислят произволно цяло число от 1 до 10. Каква е вероятността числото на Петър да е строго по-голямо от числото на Иван?

Решение: Построяваме координатна система с начало точка (1,1), в която по оста x (хоризонталата) ще нанасяме избраното число от Иван, а по оста y (вертикалата) избраното число от Петър. Получава се квадрат от възможни точки: Прочети още…

.

 


* Счупената на три парчета пръчка от Рейд

Публикувано на 13 декември 2010 в раздел Вероятности.

В задачата за счупената на три парчета пръчка можехме да „чупим“ пръчката на произволно място. А какво ще се получи ако можем да чупим пръчката на предварително зададени точки, от които можем да си избираме произволно? Ето как ще формулираме такава задача: Прочети още…

.

 


* Среща в автобуса

Публикувано на 12 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Двама приятели всеки ден пътуват с автобус до работата си. В зависимост от това кой кога е станал те обикновено пристигат на спирката на рейса произволно между 8:00 и 8:20 сутринта. И двамата са склонни да се изчакват един друг, за да пътуват заедно, но максимум до 5 минути. Каква е вероятността да пътуват заедно? Приемаме, че непрекъснато пристигат и заминават автобуси. Прочети още…

.

 


* Счупената на три парчета пръчка

Публикувано на 10 май 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Имате отсечка, която „чупите“ на три части. Каква е вероятността тези части да образуват триъгълник?

Решение: Както и в предишните разгледани задачи, и тук задачата има различна гъстота на решенията в зависимост от интерпретацията на началното условие. Нека разгледаме четири варианта на избор: Прочети още…

.

 


* Произволни триъгълници

Публикувано на 31 март 2010 в раздел Вероятности.

Днес се сблъсках с една много интересна и определено класическа задача за геометрични вероятности. Нека първо покажа оригиналното решение, а после и пример как компютърното моделиране не винаги води до правилни резултати:

Задача: Каква е вероятността един произволен триъгълник в равнината да бъде остроъгълен?

Решение: Нека ъглите на триъгълника са α,β и γ. Знаем, че α+β+γ = 180 (1) и освен това α>0, β>0 и γ>0 (2,3,4). Ако построим ортонормирана координатна система и по осите и нанасяме стойностите на α, β и γ, то условието (1) ще определи една равнина. Сечението на тази равнина с „първи квадрант“ (определен от условията за полуравнините (2,3,4)) ще определи един триъгълник: Прочети още…

.

 


* Обобщена задача на Силвестър за четирите точки

Публикувано на 30 март 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Нека имаме четири произволни точки в изпъкнала област K. Намерете вероятността те да са върхове на изпъкнал четириъгълник.

Решение (без доказателство): Оказва се, че въпреки, че решенията са независими от големината на областта, все пак според вида на K се получават различни решения. Оригиналното решение на Силвестър от 1865г. е дадено в област триъгълник. Там вероятността се оказва 2/3. По късно Цзубер доказва, че вероятността P получава минимум именно в такава област K (триъгълник). Прочети още…

.