C, PHP, VB, .NET

Задача 1: Даден е кръг в двумерното пространство с радиус 1. В този кръг е вписан квардрат със страна произволно число a≤√2 (за да лежи изцяло вътре в окръжността е очевидно, че страната на квадрата не може да превишава 2/√2, защото това е най-големият възможен вписан квадрат). Каква е вероятността произволна точка от кръга да попадне в квадрата?

Решение: Геометричната вероятност очевидно е лицето на квадрата разделено на лицето на кръга, т.е. a²/π. Да, но a може да се мени от 0 до √2, следователно вероятността е:

[math]P=\frac{\int_{0}^{\sqrt{2}}a^{2}da}{\pi}=\frac{\sqrt{2^{3}}}{3\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{3\pi}[/math]

Задача 2. Дадено е кълбо в тримерното пространство с радиус 1. В това кълбо е вписан куб със страна произволно число a≤2/√3 (най-големият куб, който може да се впише в кълбо е с такава страна) Каква е вероятността произволна точка от кълбото да попадне в куба?

Решение: Аналогично на предишната задача имаме:

[math]P=\frac{3\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}a^{3}da}{4\pi}=\frac{3*2^{4}}{16\pi\sqrt{3^{4}}}=\frac{1}{3\pi}[/math]

Задача 3. Дадено е хиперкълбо в n-мерното пространство с радиус 1. В това хиперкълбо е вписан хиперкуб със страна произволно число a≤2/√n. Каква е вероятността произволна точка от хиперкълбото да попадне в хиперкуба?

Решение: Обемът на хиперкуба е aⁿ. С обема на хиперкълбото обаче формулите са по-сложни. В зависимост дали n е четно или не е се получават следните обеми (*):

[math]V_{2k}(r)=\frac{\pi^k}{k!}r^{2k}[/math]

[math]V_{2k+1}(r)=\frac{k!}{(2k+1)!}2^{2k+1}\pi^{k}r^{2k+1}[/math]

(*) http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf – вече не е наличен този адрес

В тези формули „r“ е радиуса на кълбото, т.е. в нашия случай го заместваме с 1, а n=2k или съответно 2k+1. Затова в нашата задача ще имаме две решения.

1. Ако n=2k (т.е. се намираме в „четноразмерно“ пространство):

[math]P=\frac{k!\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{2k}}}a^{2k}da}{\pi^{k}}=\frac{k!*2^{(2k+1)}}{(2k+1)\pi^{k}(\sqrt{2k})^{(2k+1)}}[/math]

2. Ако n=2k+1 (т.е. се намираме в „нечетноразмерно“ пространство):

[math]P=\frac{(2k+1)!\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{2k+1}}}a^{2k+1}da}{2^{(2k+1)}\pi^{k}k!}=\frac{2*(2k+1)!}{(2k+2)(\sqrt{2k+1})^{(2k+2)}k!}[/math]

Задача за упражнение: Направете координатна система, в която по абцисата се намират точките на размерностите (n), а по ординатата вероятностите P(n), очевидно ограничени от 0 до 1. Нанесете точките (n,P(n)) и ги свържете с отсечки. Изкажете хипотеза без да пресмятате какво ще се случи с вероятността ако n клони към безкрайност. После направете проверка като пресметнете границите на двете функции P(k) при k клонящо към безкрайност.