C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Вероятности с квадратно уравнение

Публикувано на 16 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Дадено е квадратно уравнение x2+px+q=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Ще направим координатна система, в която по абцисата ще нанасяме параметрите p, а по ординатата параметрите q. Условията 0≤p≤1 и 0≤q≤1 образуват множество от точки квадрат.

Квадратното уравнение от условието ще има реални корени тогава и само тогава, когато дискриминантата му D=p2-4q e по-голяма или равна на нула. Следователно p2≥4q, т.е. q≤p2/4. Начертаваме графика:

Защрихована в светло синьо част е тази, при която имаме реални решения, а останалата част е тази, при която корените на уравнението са комплексни числа. Остава да намерим нейното лице:

Следователно вероятността е:

P = (1/12)/1 = 1/12

Задача 2. Дадено е квадратно уравнение px2+x+q=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?
Решение: Дискриминантата е D=1-4pq. Следователно търсим q≤1/4p:

Лицето на бялата част е равно на:

Следователно вероятността е:

P = S(синята част)/1 = 1-0,3465 = 0,6535

Задача 3. Дадено е квадратно уравнение qx2+px+1=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Дискриминантата е D=p2-4q – същата дискриминанта както тази от задача 1. Следователно решениятя са еквивалентни.

Задача 4. Дадено е квадратно уравнение qx2+px+q=0, където 0≤p≤1 и 0≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Дискриминантата е D=p2-4q2. Следователно търсим q2≤p2/4. Тук решението ще дойде значително по-лесно:

Лицето на защрихования в синьо триъгълник е 1/4, следователно:

P = (1/4)/1 = 1/4 = 0,25

Задача за упражнение 1. Дадено е квадратно уравнение x2+px+q=0, където 0≤p≤1 и -1≤q≤1. Каква е вероятността решенията на квадратното уравнение да са реални числа?

Задачите за квадратно уравнение са обобщени в следваща статия на адрес:

https://www.cphpvb.net/probability/8376-equation/

 



2 коментара


  1. Чудесна наблюдателност! Браво!

  2. mertol каза:

    упр. 1 графиката на дискрминантата е симетрична спрямо оста q, следователно вероятността е същата като на зад. 1

Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*