C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


Категория ‘Вероятности’

* По голямата от две суми

Публикувано на 01 януари 2011 в раздел Вероятности.

Задача 1: Иван си намисля две произволни цели числа от 1 до 5, а Петър си намисля две произволни цели числа от 1 до 10. Каква е вероятността сумата от числата на Петър да е строго по-голяма от сумата от числата на Иван? Прочети още…

.

 


* По-голямото от две произволни числа – 2

Публикувано на 29 декември 2010 в раздел Вероятности.

В задачите в статията „по-голямото от две произволни числа„, както и в статията „двойни условия„, използвахме събития с еднаква вероятност. Тоест вероятността да бъде избрано конкретно произволно число и от двамата участници беше една и съща. Сега ще демонстрирам същите задача, но този път вероятностите за избор ще бъдат различни. Прочети още…

.

 


* Произволен триъгълник спрямо координатна система

Публикувано на 24 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Имаме фиксирана координатна система Oxy в равнината. Каква е вероятността центъра на координатната система да попадне вътре в произволен триъгълник? Прочети още…

.

 


* Произволен кръг спрямо координатна система

Публикувано на 24 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Имаме фиксирана координатна система Oxy в равнината. Каква е вероятността кръг с произволен център и произволен радиус да съдържа центъра на координатната система?

Решение: Нека първо разгледаме положението на центъра на координатната система и центъра на кръга. Радиус векторът е r: Прочети още…

.

 


* Положение на точка в кръг и триъгълник

Публикувано на 24 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Дадена е окръжност „k“ с радиус R=1. Върху тази окръжност са избрани три произволни точки, които взимаме за върхове на триъгълник. Каква е вероятността произволна точка от кръга „k“ да попадне вътре в триъгълника? Прочети още…

.

 


* Вериги на Марков

Публикувано на 21 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Транспортна фирма е обхванала София по посока изток-запад в следните груби региони: Младост (M), Център (C) и Люлин (L). От поръчките, които фирмата получава в M 50% от доставките са за M, 20% са за C и 30% са за L. От поръчките в C 10% са за M, 40% са за C и 50% са за L. От поръчките получени в L 30% отиват в M, 30% в C и 40% са за L. Прочети още…

.

 


* Точка от хиперкуб попадаща в хиперкълбо

Публикувано на 19 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Даден е хиперкуб в n-мерното пространство със страна 2a единици. В него е вписана произволна хиперсфера с радиус r≤a (хиперсферата с радиус „a“ е максимално голямата хиперсфера, която може да се впише в този хиперкуб). Каква е вероятността произволна точка от хиперкуба да попадне в хиперсферата?

Решение: Ще използваме формулите за обем на хиперсфера от предишната статия, които отговарят съответно на случаите при n=2k или n=2k+1: Прочети още…

.

 


* Точка от хиперкълбо попадаща в хиперкуб

Публикувано на 19 декември 2010 в раздел Вероятности.

Задача 1: Даден е кръг в двумерното пространство с радиус 1. В този кръг е вписан квардрат със страна произволно число a≤√2 (за да лежи изцяло вътре в окръжността е очевидно, че страната на квадрата не може да превишава 2/√2, защото това е най-големият възможен вписан квадрат). Каква е вероятността произволна точка от кръга да попадне в квадрата?

Решение: Геометричната вероятност очевидно е лицето на квадрата разделено на лицето на кръга, т.е. a2/π. Да, но a може да се мени от 0 до √2, следователно вероятността е: Прочети още…

.

 


* Център на хиперсфера лежащ в многостен

Публикувано на 17 декември 2010 в раздел Вероятности.

Нека решим още няколко задачи свързани с хиперсфери, като продължение на миналата тема за вероятност на „n“ точки в „полухиперсфера“. Ще разгледаме „обратната“ (не случайно я наричам така) задача за намиране на вероятността центъра на окръжността да лежи вътре в многостена определен от точките. Вече решавахме една такава задача в двумерното пространство с окръжност и три точки, четири и n точки (виж задачи 1, 4 и 5 от положения на „n“ точки в окръжност). Нека разгледаме следната задача за тримерното пространство: Прочети още…

.

 


* Вероятност за n точки в полухиперсфера

Публикувано на 17 декември 2010 в раздел Вероятности.

Забележка: В тази статия съм изказал хипотеза, които не съм доказал строго. Възможно е решенията на задачите и изводите от тях да не са вярни, защото те стъпват на тази хипотеза! Надявам се да не се изложа, но още повече се надявам да не подведа никой. Приемете тази статия като „несигурна чернова“.

От предишната статия в Задача 3 използвахме, че една точка в окръжност и центъра на окръжността определят две полуокръжности, две точки и центъра определят четири полуокръжности, …, n точки и центъра определят 2n полуокръжности. Това е естествено, защото всяка избрана лежаща на окръжността точка и центъра на окръжноста определят права, която разделя окръжността на две равни части. Как стои положението в тримерното пространство при сфера?

Очевидно е, че една точка лежаща върху повърхнината на сферата и центъра не са достатъчни, за да се определи полусфера. Представете си например Земята и точката на северния полюс – през нея може да минават безброй много паралели, всеки един от които определя полусфера. При две точки нележащи на един диагонал обаче полусфера може да се определи еднозначно. Това също е логично, защото тези две точки заедно с центъра на окръжността определят еднозначно една равнина, която разделя сферата на две полусфери. Ето пример: Прочети още…

.