* Произволен триъгълник спрямо координатна система
Публикувано на 24 декември 2010 в раздел Вероятности.
Задача: Имаме фиксирана координатна система Oxy в равнината. Каква е вероятността центъра на координатната система да попадне вътре в произволен триъгълник?
Решение: Около всеки триъгълник може да се опише окръжност. Нека разгледаме описаната около произволния триъгълник окръжност. От предишната задача знаем, че вероятността произволен кръг да съдържа в себе си центъра на координатната система е 1/2.
Нека предположим, че описания около триъгълника кръг съдържа центъра на координатната система. От задачата за положение на точка в кръг и триъгълник знаем, че вероятността произволна точка от кръга да е вътре в произволен триъгълник от кръга е 3/4π. Понеже положението на центъра на координатната система вътре в кръга е произволно (зависещо е от произволния център), то ние може да го разгледаме разгледаме именно като произволната точка от споменатата задача.
Следователно от двата случая имаме:
P = (1/2)*(3/4π) = 3/8π
Реално с това решение ние параметризирахме триъгълника по два негови ъгъла и радиуса на описаната окръжност. Въпросът е каква ще е гъстотата на решенията. Все пак ние намираме решението на две стъпки – първо изчисляваме вероятността спрямо радиуса на описаната окръжност и после спрямо ъглите на триъгълника. Опитайте се да намерите друго решение по алтернативен метод, по възможност едностъпков.
Добави коментар