C, PHP, VB, .NET

Задача: Дадена е окръжност "k" с радиус R=1. Върху тази окръжност са избрани три произволни точки, които взимаме за върхове на триъгълник. Каква е вероятността произволна точка от кръга "k" да попадне вътре в триъгълника? Прочети още...

.

Днес получих забавен e-mail от Господари на Ефира. Изглежда съм ходил някога на сайта gospodari.com и съм се регистрирал. Сега хората ми пожелават "Весели Празници"... по много интересен начин. Е-mail адресите на всички получатели са вкарани в TO: Прочети още...

.

Задача 1: Транспортна фирма е обхванала София по посока изток-запад в следните груби региони: Младост (M), Център (C) и Люлин (L). От поръчките, които фирмата получава в M 50% от доставките са за M, 20% са за C и 30% са за L. От поръчките в C 10% са за M, 40% са за C и 50% са за L. От поръчките получени в L 30% отиват в M, 30% в C и 40% са за L. Прочети още...

.

Днес в Българска Академия на Науките в Институт по Математика и Информатика, секция "Обучение по Математика и Информатика" имаше отчетна сесия. За съжаление присъствах за съвсем малко. Един от докладите обаче ми хареса - този на Йорданка Горчева на тема "Математическо моделиране на избори". Всъщност тя показа методически как тази тема да се разисква в клас с ученици така, че да породи интерес към математиката. Аз тук ще се огранича само с чисто забавната част от тази математика, а именно - парадоксите, както също така ще дам и реален практически пример. Прочети още...

.

Задача 1. Това е много популярна диофантова задача, която казват, че е съставил лично Архимед. Задачата е открита през 1773г. от пергамент на гръцки език и решена чак през 1880г. от А. Амтор: Прочети още...

.

Задача: Даден е хиперкуб в n-мерното пространство със страна 2a единици. В него е вписана произволна хиперсфера с радиус r≤a (хиперсферата с радиус "a" е максимално голямата хиперсфера, която може да се впише в този хиперкуб). Каква е вероятността произволна точка от хиперкуба да попадне в хиперсферата?

Решение: Ще използваме формулите за обем на хиперсфера от предишната статия, които отговарят съответно на случаите при n=2k или n=2k+1: Прочети още...

.

Задача 1: Даден е кръг в двумерното пространство с радиус 1. В този кръг е вписан квардрат със страна произволно число a≤√2 (за да лежи изцяло вътре в окръжността е очевидно, че страната на квадрата не може да превишава 2/√2, защото това е най-големият възможен вписан квадрат). Каква е вероятността произволна точка от кръга да попадне в квадрата?

Решение: Геометричната вероятност очевидно е лицето на квадрата разделено на лицето на кръга, т.е. a²/π. Да, но a може да се мени от 0 до √2, следователно вероятността е: Прочети още...

.

Нека решим още няколко задачи свързани с хиперсфери, като продължение на миналата тема за вероятност на „n“ точки в „полухиперсфера“. Ще разгледаме "обратната" (не случайно я наричам така) задача за намиране на вероятността центъра на окръжността да лежи вътре в многостена определен от точките. Вече решавахме една такава задача в двумерното пространство с окръжност и три точки, четири и n точки (виж задачи 1, 4 и 5 от положения на "n" точки в окръжност). Нека разгледаме следната задача за тримерното пространство: Прочети още...

.

Забележка: В тази статия съм изказал хипотеза, които не съм доказал строго. Възможно е решенията на задачите и изводите от тях да не са вярни, защото те стъпват на тази хипотеза! Надявам се да не се изложа, но още повече се надявам да не подведа никой. Приемете тази статия като "несигурна чернова".

От предишната статия в Задача 3 използвахме, че една точка в окръжност и центъра на окръжността определят две полуокръжности, две точки и центъра определят четири полуокръжности, ..., n точки и центъра определят 2n полуокръжности. Това е естествено, защото всяка избрана лежаща на окръжността точка и центъра на окръжноста определят права, която разделя окръжността на две равни части. Как стои положението в тримерното пространство при сфера?

Очевидно е, че една точка лежаща върху повърхнината на сферата и центъра не са достатъчни, за да се определи полусфера. Представете си например Земята и точката на северния полюс - през нея може да минават безброй много паралели, всеки един от които определя полусфера. При две точки нележащи на един диагонал обаче полусфера може да се определи еднозначно. Това също е логично, защото тези две точки заедно с центъра на окръжността определят еднозначно една равнина, която разделя сферата на две полусфери. Ето пример: Прочети още...

.

Задача 1: Дадена е окръжност с радиус 1. Избираме три произволни точки A, B и C, които лежат на нея. Каква е вероятността триъгълникът ABC да съдържа центъра на окръжността?

Решение: Всеки две произволни точки върху окръжност я разделят на две дъги - къса и дълга. Без да ограничаваме решенията обозначаваме тези две точки с A и B. Нека късата дъга AB е с дължина "x". Прекарваме лъчи AO и BO, които пресичат окръжността съответно в точки A' и B'. Ако точка C лежи в дъгата A'B', то центъра на окръжността ще бъде вътрешна точка за нея: Прочети още...

.