C, PHP, VB, .NET

Днес в Българска Академия на Науките в Институт по Математика и Информатика, секция „Обучение по Математика и Информатика“ имаше отчетна сесия. За съжаление присъствах за съвсем малко. Един от докладите обаче ми хареса – този на Йорданка Горчева на тема „Математическо моделиране на избори“. Всъщност тя показа методически как тази тема да се разисква в клас с ученици така, че да породи интерес към математиката. Аз тук ще се огранича само с чисто забавната част от тази математика, а именно – парадоксите, както също така ще дам и реален практически пример.

Става въпрос за напоследък популярният у нас метод „Hare-Niemeyer“ за преразпределение на гласовете или както е още по-добре познат – „метод на най-големия остатък“. Именно той наскоро в България замести метода „Д`Онт“. Ако всички хора са подали x гласа, партия Y е получила y гласа, а общия брой места в парламента е z, то колко места е заела партия Y? Отговорът на този въпрос никак не е очевиден и реално проблемът не е малък. Методът на „Hare-Niemeyer“ дава отговор на този въпрос на два етапа. На първият се пресмята формулата:

Общ брой места * Гласове за партия / Общ брой гласове = Резултат

Дебело трябва да се подчертае, че от тази формула се взима само цялата част на числото. Дори ако резултатът е 12.97, то „резултат“ ще бъде закръглен надолу на 12. Освен това в зависимост от държавата може да се слагат бариери от процент гласове, която трябва да бъде прескочена – в България например тя е 4%. Това означава, че дори на някои партии да им достигат гласове за взимане на депутатско място – те няма да го получат ако общия им брой гласове е под 4%. Засега ще оставим това ограничение настрана въпреки, че то също изисква особено математическо внимание.

Ясно е, че „общ брой места / общ брой гласове“ всъщност е коефициент, с който може да се отчита колко гласове са нужни за едно място. Вторият етап идва тогава, когато депутатските места не са заети напълно, т.е. останали са незаети места след първи етап. Тогава на втори етап се взимат един след друг най-големите остатъци (например от 12.97 остатъкът е 0.97) и на тях се дават последователно незаетите места до изчерпване. Нека сега разгледаме примери.

Пример 1: Парадоксът за негласувалия гражданин:

Имаме общо 13 места за разпределяне. Гласували са общо 111 души за четири партии по следния начин:

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
A	43	5.036	5	0.036	3	5
B	29	3.3964	3	0.3964	1	3
C	27	3.1622	3	0.1622	2	3
D	12	1.4054	1	0.4054	0	2
Общо:	111	13	12	1 свободно място	–	13

Ясно се вижда, че партия D печели едно място от метода, понеже има най-голям остатък спрямо останалите. Така ако партия B направи коалиция с партия C, то имат общо 6 гласа и нямат пълно мнозинство.

Нека сега направим една съвсем дребна промяна. Иван Иванов, редовен гласоподавател на партия C, се е разболял тежко в деня преди изборите и не е могъл на гласува. Така партия C получава един глас по-малко. Нека видим какво ще се случи:

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
A	43	5.0818	5	0.0818	3	5
B	29	3.4273	3	0.4273	0	4
C	26	3.0727	3	0.0727	2	3
D	12	1.4182	1	0.4182	1	1
Общо:	110	13	12	1 свободно място	–	13

Виждате, че един глас по-малко за партия C преразпределя едно място към партия B вместо към партия D. Така всъщност коалицията между партии B и C печели пълно мнозинство. Може да звучи парадоксално, че по-малко количество хора гласували за твоята коалиция може да доведе до повече депутати за нея, но всъщност е математически издържано…

Пример 2: Парадоксът „Алабама“:

Това всъщност е реална задача, известна от 1880г. Тук ще я демонстрираме с примерни данни. Имаме следното примерно гласуване, в което ще се разпределят 323 места:

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
A	5670	183.141	183	0.141	3	183
B	3850	124.355	124	0.355	2	124
C	420	13.566	13	0.566	1	14
D	60	1.938	1	0.938	0	2
Общо:	10000	323	321	2 свободни места	–	323

В един момент обаче броят на места за „камарата на представителите“ за Алабама се увеличили от 323 на 324. Получаваме следното разпределение:

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
A	5670	183.708	183	0.708	2	184
B	3850	124.74	124	0.74	1	125
C	420	13.608	13	0.608	3	13
D	60	1.944	1	0.944	0	2
Общо:	10000	324	321	3 свободни места	–	324

Забележете какво се получи – увеличаването на броят на местата направи така, че всъщност партия C загуби едно място за сметка на по-голяма партия. Положението от реалния пример в щата Алабама е било същото…

Пример 3: Избори за ЕП 2009, България:

Местата за Европейски Парламент бяха 17.  Имаше две партии надминали 4% бариера – Лидер и РЗС, но те не заеха места въобще, защото са под прага за брой гласове за едно място. Всъщност заради изборната активност се оказа, че този „втори праг“ се оказа по-висок от 4%-овата бариера. Общият брой гласове за изборите беше 2576434, което за 17 места прави по 151555 гласа за място. Партия Лидер беше най-близо до тази бариера с 146984 гласа, но очевидно под нужните. Затова тези две партии се изхвърлят от класацията и разпределението беше следното.

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
ГЕРБ	627693	4.8803	4	0.8803	0	5
ДПС	364197	2.8316	2	0.8316	1	3
АТАКА	308052	2.3951	2	0.3951	5	2
КБ	476618	3.7057	3	0.7057	2	4
НДСВ	205146	1.5950	1	0.5950	3	2
СК	204817	1.5924	1	0.5924	4	1
Общо:	2186523	17	13	4 свободни места	–	17

Ясно се виждат именно резултатите, които се получиха от изборите. В един момент обаче се прие Лисабонския договор и местата на евродепутати се увеличиха с 1, т.е. станаха общо 18. Беше приет нов закон, според който следващия неизползван най-голям остатък ще спечели депутатското място. Това се оказа Синята Коалиция, която беше с ранг 4 (рангове от 0 до 3 вече бяха употребени) и така те вкараха 2ма евродепутати в европарламента, вместо 1.

Интересно е обаче какво щеше да стане ако бяхме направили ново разпределение на изборните резултати, след като местата станаха 18. Специално внимание трябва да се обърне на партия Лидер – преди те нямаха достатъчно гласове за да прескочат „летвата“ за едно място и отпаднаха – припомням партията беше с 146984 гласа. Да, но общият брой гласували 2576434 при 18 кандидати прави 143135 гласа за място, което очевидно вече се покрива и от партия Лидер. Така класацията би изглеждала по съвсем нов начин:

Партия	Гласове	Резулат	Цяла част	Остатъци	Ранг	Заети Места
ГЕРБ	627693	4.8419	4	0.8419	0	5
ДПС	364197	2.8094	2	0.8094	1	3
АТАКА	308052	2.3763	2	0.3763	5	2
КБ	476618	3.6765	3	0.6765	2	4
НДСВ	205146	1.5824	1	0.5824	3	2
СК	204817	1.5798	1	0.5798	4	1
Лидер	146984	1.1337	1	0.1337	6	1
Общо:	2333507	18	14	4 свободни места	–	18

Виждаме, че ако Лисабонският договор беше приет преди провеждането на изборите, партия Лидер би получила едно депутатско място. Приемането му след изборите направи така, че Синята Коалиция „взе“ мястото на депутат на партия Лидер.

Примерите естествено могат да станат много повече при другите методи за разпределение. Ще дам пример без доказателство:

Пример 4. Различните методи правят различни разпределения:

Ако партия A има 6100 гласа, партия B има 5000 гласа, а партия C има 900 гласа, а общия брой места са 10, резултатите от трите основно използвани метода ще са:

• Д`Онт: А взима 6 места, B взима 4 и C остава без място;
• Хеър-Ниймайер: A взима 5 места, B взима 5 места, а C е изключен от надпреварата. Ако не важи правилото за изхвърляне на участниците без достатъчно гласове за едно място, то B ще вземе 4 гласа, а C ще вземе 1 място;
• Сайнте-Лагуе: A взима 5 места, B взима 4 места, а C взима 1 място.

Не е редно да се класифицират методите като „по-добър“ или „по-лош“. Истината е, че те са еднакво добри. Очевидно е нещо друго – много е важно преди изборите да се знае кой метод ще се използва и също толкова важно е да се вземе предварително решение как ще се разпределят евентуални допълнително отпуснати места. В противен случай са възможни управленчески своеволия.

Примери 1 и 2 са взети от http://www.worldlingo.com

Пример 4 е взет от http://staatsrecht.honikel.de

П.С. Във връзка с тази тема прочетете и други мои статии – законодателен трик, дилемата за наемане на работа и изборна математика. Статията за Иван Салабашев също е свързана с тема „избори“.