C, PHP, VB, .NET

В предишната задача казах, че винаги е добре човек да има собствено мнение. А дали има случай, в който това не е така? Нека разгледаме същата задача, но с променени вероятности:

Преди да продължите, прочетете оригиналната задача тук:
https://www.cphpvb.net/probability/9249-own-opinion-importance/

Задача 1. Имаме жури от трима съдии – А, Б и В. Вероятността опитният съдия А да сгреши е 5%, а вероятността съдия Б да сгреши е 10%. Съдия В обаче се оказал пълно менте – той нямал абсолютно никакво правно образование. Реално той не може да разсъждава по казуса и единствения начин да даде някакво отсъждане е да хвърли монета. Дали е по-добре той да се довери на съдия А вместо да хвърля монета?

Решение: Съставяме познатата таблица както в миналата задача:

A  Б  B   P(A)   P(Б)   P(B)     P
П  П  П   0,95   0,90   0,50  0,4275
П  П  Г   0,95   0,90   0,50  0,4275
П  Г  П   0,95   0,10   0,50  0,0475
П  Г  Г   0,95   0,10   0,50  0,0475
Г  П  П   0,05   0,90   0,50  0,0225
Г  П  Г   0,05   0,90   0,50  0,0225
Г  Г  П   0,05   0,10   0,50  0,0025
Г  Г  Г   0,05   0,10   0,50  0,0025

В този случай виждаме, че:

P(Г) = 0,075

Тук очевидно виждаме, че нещата са се променили – ако В се беше доверил на А, щеше да се получи вероятност за грешка 0,05, която щеше да е по-малка от получената в този случай. Значи е било по-добре ако В се довери на авторитета.

Възникват допълнителни въпроси – къде е границата на вероятността на В да сбърка, така че да няма значение дали да се довери на авторитета или не? С компютърна програма лесно се намира числото – ако вероятността В да даде правилен отговор P(B) = 0.67857, то P(Г) = 0,5. Тоест ако вероятността В да сбърка е 0.32143 (малко над 32%), ще се получи същата вероятност журито да сбърка, каквато би била ако В копира отговора на А.

Нека разгледаме и другия вариант – ако В се довери на Б, бихме имали вероятност журито да сбърка 0,1. Ако В гласува по съвест и желаем да получим същата вероятност, то намираме, че това се получава ако вероятността В да даде правилен отговор P(B) = … 0.32143! Или ако вероятността В да сбърка е 0.67857 (малко под 68%), ще се получи същата вероятност, каквато би била ако В копира отговора на Б.

Задача 2. Можем ли да намерим зависимост? Каква е връзката между граничната стойност на вероятността на В да сбърка с вероятностите на А и Б са сбъркат?

Решение: Нека вероятността на А да сбърка е p, а вероятността на Б да сбърка е q (и двете числа в границите [0,1]). Приемаме, че вероятността на В да сбърка е x. Съставяме таблицата:

A  Б  B   P(A)   P(Б)   P(B)         P
П  П  П   1-p    1-q    1-x   (1-p)(1-q)(1-x)
П  П  Г   1-p    1-q     x      (1-p)(1-q)x
П  Г  П   1-p     q     1-x     (1-p)q(1-x)
П  Г  Г   1-p     q      x        (1-p)qx
Г  П  П    p     1-q    1-x     p(1-q)(1-x)
Г  П  Г    p     1-q     x        p(1-q)x
Г  Г  П    p      q     1-x       pq(1-x)
Г  Г  Г    p      q      x          pqx

За да получим граничната стойност, търсим такова х, при което:

  [math](1-p)qx + p(1-q)x + pq(1-x) + pqx = p[/math]

От това уравнение изразяваме x и получаваме:

[math]x = \frac{p-pq}{p+q-2pq}[/math]

Ако искаме да изразим граничната стойност за доверие на В към Б, то просто трябва да разменим p и q в горната формула.

Задачата естествено може да се разшири с произволен нечетен брой съдии.

Извод: Нека участваме в жури заедно с двама души А и Б, чиито вероятности да направят грешка са съответно p и q (приемаме, че p≤q). Тогава ако нашата вероятност да сбъркаме е по-голяма от граничната е добре да се доверим на авторитета и да гласуваме както е гласувал А. Ако нашата вероятност за грешка е по-малка от граничната, то е по-добре да изразим своето собствено мнение.

По-важен извод: Изразяването на собствено мнение не е полезно ако не сме достатъчно добре подготвени по темата, по която се дискутира. Ако не сме достатъчно подготвени, по-добре да се доверим на авторитета.

Глобален извод: Демокрацията работи само тогава, когато хората са добре образовани. Когато не са, по-добре да следват съвета на някой по-образован от тях.

Добавено 06.01.2014г. – Нека сега разширим задачата с по-голямо жури.

Задача 3. Имаме жури от петима съдии – А1, А2, А3, А4 и А5 със съответни вероятности за грешка p, q, r, s и x. Търсим каква е граничната стойност на х спрямо p

Решение: Съставяме отново таблицата. Понеже е много голяма, няма да я пускам директно тук, а може да я свалите в Excel. Използвайки сумата в края на файла, приравняваме на p и получаваме граничната стойност

[math]x=\frac{p-pqr-pqs-prs-qrs+3pqrs}{pq+pr+ps+qr+qs+rs-3pqr-3pqs-3prs-3qrs+6pqrs}[/math]

Сега остава да се обобщи за N на брой съдии…