C, PHP, VB, .NET

Едно от най-важните неща е човек да има свое собствено мнение. Поне така казваме на всички ученици в училите. Ще го демонстрирам с една „задача-парадокс“.

Нека имаме подсъдим и жури от нечетен брой съдии, които трябва да оценят дали той е невинен или е виновен. Журито работи на принципна „мнозинството решава“, като всеки съдия дава становище дали подсъдимия е виновен или невинен, без да имат право на глас „въздържал се“. Съдиите в това жури естествено са живи хора и е възможно да направят грешка. Освен това един съдия може да греши повече от друг, защото всеки човек все пак е различен. На базата на събрани статистически данни е възможно да бъде оценено каква е вероятността даден съдия да сбърка. Нека разгледаме сега примерна задача:

Задача. Имаме жури от трима съдии – А, Б и В. Вероятността опитният съдия А да сгреши е 5%, вероятността съдия Б да сгреши е 10%, а вероятността младия съдия В да сгреши е 15%.

а) Ако всеки в журито гласува по своя собствена съвест, каква е вероятността да сбъркат?

Решение: Нека с Г (грешка) означим, че съдия е сбъркал, а с П (правилно), че е оценил коректно подсъдимия. С P(X) ще означим „вероятността това да се е случило“, а в последната колона просто с P (product – произведение) ще отбележим общата вероятност да се е случила конкретна комбинация. При трима съдии имаме осем възможни комбинации:

A  Б  B   P(A)   P(Б)   P(B)     P
П  П  П   0,95   0,90   0,85  0,72675
П  П  Г   0,95   0,90   0,15  0,12825
П  Г  П   0,95   0,10   0,85  0,08075
П  Г  Г   0,95   0,10   0,15  0,01425
Г  П  П   0,05   0,90   0,85  0,03825
Г  П  Г   0,05   0,90   0,15  0,00675
Г  Г  П   0,05   0,10   0,85  0,00425
Г  Г  Г   0,05   0,10   0,15  0,00075

Ако сумирате числата в колоната P естествено ще видите, че общия сбор на вероятностите е 1. В червено са дадени лошите изходи – тези, при които двама от съдиите са направили грешка, съответно общата присъда е била погрешна. От тук лесно се намира, че вероятността журито да е сбъркало е сумата от червените числа в колоната P или:

P(Г) =0,026

б) Съдия В решил, че бърка прекалено често и се самооценил, че не е надежден. Затова той решил да се довери на своя колега – опитния съдия А – и да копира неговия отговор. Тоест съдия В се е лишил от своето собствено мнение и е решил да се довери на авторитета. Каква е вероятността журито да сбърка в този случай?

Решение: Отново ще съставим същата таблица. В нея обаче колоната на съдия В ще е фиктивна, защото той няма собствено мнение – тя ще копира решенията на А. Няма да се пресмята и P(B), защото В реално не участва – в общата вероятност за дадения случай ще участват само вероятностите на А и Б.

A  Б  B   P(A)   P(Б)     P
П  П  П   0,95   0,90   0.855
П  Г  П   0,95   0,10   0.095
Г  П  Г   0,05   0,90   0.045
Г  Г  Г   0,05   0,10   0.005

От тази таблица ясно се вижда, че отговорът е:

P(Г) = 0,05

Това показва еднозначно, че вероятността за грешка се е повишила спрямо гласуването по съвест (0,05 > 0,026)! А получената вероятност потвърждава наблюдението, че ако В копира А, то Б става излишен – общата вероятност става равна на вероятността на А.

Извод: Виждате, че в случая доверяването на неопитния съдия (правещ 15% грешки) на решението на авторитетния опитен съдия (правещ само 5% грешки) ще доведе до по-голяма вероятност за грешка в крайната оценка. Ето защо дори да сме неопитни и да грешим по-често от другите все пак е важно да изразяваме своето собствено мнение!

Обобщението на задачата следва тук: https://www.cphpvb.net/probability/9251-when-to-follow-authority/