C, PHP, VB, .NET

В оригиналната задача на Бюфон за иглата равнината се разграфява с прави линии на равно разстояние 2a една от друга, след което се пита „каква е вероятността ако се хвърли игла (отсечка) с дължина 2l, където l<a, иглата да пресече линия“. Припомняме, че тази вероятност се изчислява като [mathi]P=\frac{2l}{a\pi}[/mathi]. Нека развием тази задача, като вместо игла хвърляме произволен многоъгълник с най-голям диаметър по-малък от 2l:

Задача за изпъкнал многоъгълник. “Разграфяваме” равнината с успоредни прави линии на разстояние “2a” една от друга. Каква е вероятността произволно хвърлен изпъкнал многоъгълник, чието най-голямо разстояние между два върха e 2l (l<a), да пресече някоя линия?

Решение: Нека многоъгълника има „n“ на брой страни (всяка от тях може да бъде с различна дължина, защото не е казано, че многоъгълника е правилен). Ние можем да разгледаме всяка една от страните на този многоъгълник като отсечка „игла на Бюфон“. Най-големият диагонал на многоъгълника е по-малък от разстоянието между линиите, следователно не е възможно многоъгълника да пресече две линии едновременно. Освен това трябва да забележим, че ако многоъгълника пресече линия, то това винаги ще става с две страни (т.е. винаги две игли ще пресичат линията, ако я пресичат въобще).

Нека [mathi]P(a_i, a_j)[/mathi] е „вероятността страните [mathi]a_i[/mathi] и [mathi]a_j[/mathi] да пресекат линия“. Тогава, ако M е многоъгълника, то вероятността той да пресече линия ще бъде:

[math]P(M)=\sum_{i< j}P(a_i,a_j)[/math]

Нека [mathi]P(a_i)[/mathi] е „вероятността страната [mathi]a_i[/mathi] да пресече линия“. От задачата на Бюфон за иглата ние знаем, че ако нейната дължина е [mathi]2l_i[/mathi], то [mathi]P(a_i)=\frac{2l_i}{a\pi}[/mathi]. Но също така можем да изчислим, че:

[math]P(a_i)=\sum_{\begin{array}{l}j=1\\j\neq i\end{array}}^{n}P(a_i,a_j)[/math]

Така ако вземем:

[math]2P(M)=2\sum_{i<j}P(a_i,a_j)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{\begin{array}{l}j=1\\j\neq i\end{array}}^{n}P(a_i,a_j)=\sum_{i=1}^{n}P(a_i)[/math]

[math]=> P(M)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}P(a_i) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{2l_i}{a\pi}=\frac{1}{a\pi}\sum_{i=1}^{n}l_i[/math]

Да, но [mathi]l_i[/mathi] са дължините на страните на многоъгълника, следователно [mathi]\sum_{i=1}^{n}l_i = L[/mathi] ще бъде периметъра на този многоъгълник. Следователно:

[math]P(M) = \frac{L}{a\pi}[/math]

тоест вероятността многоъгълника да пресече линия е равна на периметъра на многоъгълника разделен на [mathi]a\pi[/mathi]

Задача за изпъкнала затворена крива. „Разграфяваме” равнината с успоредни прави линии на разстояние “2a” една от друга. Нека този път хвърляме изпъкнала затворена крива (например окръжност, елипса и т.н.), за която най-голямата възможна „хорда“ (разстояние между две точки от кривата) е 2l, като l<a. Каква е вероятността кривата да пресече линия?

Решение: Можем да направим приближение на кривата чрез начупена линия. Тази начупена линия ще формира многоъгълник и вероятността ще може да бъде намерена както в предишната задача. Колкото по-добро приближение правим (начупваме линията повече), толкова повече периметъра на многоъгълника ще клони към периметъра на кривата. При начупване на линията клонящо към безкрайност ще получим почти идеално приближение и може да се приеме, че многоъгълника и кривата ще „съвпадат“. Това означава, че и вероятностите им да пресекат една от правите линии разграфяващи равнината също ще са равни (не е възможно да пресекат две линии едновременно, защото най-дългото разстояние между две точки от кривата е по-малко от разстоянието между две линии от равнината). Така, че вероятността затворена изпъкнала крива да пресече линия от разграфяването на равнината е равна на дължината на кривата разделена на [mathi]a\pi[/mathi]

Въпроси за публиката:

1. Как стои въпроса ако кривата не е изпъкнала, а е вдлъбната?
2. Как стои въпроса ако кривата не е затворена?

За повече информация вижте тук.