C, PHP, VB, .NET

Вече споменах, че винаги практиката предхожда създаването на теорията. Важно е да осъзнаем, че това е така и в обучението. Тук влизаме в противоречие с общата погрешна представа за висшите учебни заведения, където предметите са разделени на две – лекции и упражнения – и се счита, че на лекции се учи само теория, а на упражнения е практиката. Истината е, че това не е точно така – на лекции не се учи само теория, но има и практика. Едни добре подготвени методически лекции трябва да включват в себе си първо практически примери над които вече да се изгражда теорията. От изградената теория пък вече се влиза в упражненията – затвърждаване на знанията чрез решаване на редица примери, които естествено са чисто практически.

Методите за изграждане на теория са абстрахиране и обобщение, конкретизация и специализация, анализ и синтез. Всички те разгледани заедно формират моделиране (като се има предвид, че се моделира теория). Ще разгледаме тези методи за един по един, като ще дам елементарни примери:

1. Абстрахиране и обобщение:

Чрез абстрахирането и обобщението ние разширяваме обема на дадено понятие. От примера в миналата тема за разчертаването на земеделските площи в древна Гърция – преминаването от понятието „нива“ към понятието „правоъгълник“ е едновременно абстрахиране и обобщение. С други думи голямо множество от различни по големина и пропорции ниви се слагат в един общ кюп като форми от тип „правоъгълник“.

Чрез абстрахирането ние излизаме от конкретния физичен модел, като премахваме множество физични фактори от него и моделираме конкретен математически модел. Обобщението е когато вземем редица така намерени модели и ги сложим под общ клас с общи закони.

От примера абстрахиране е когато кажем, че дадена нива всъщност е правоъгълник със страни 2 декара на 3 декара и от там да намерим лицето ѝ – 6 декара. Ние сме премахнали редица физични фактори от задачата за намиране на площта на нивата. Обобщение ще бъде когато кажем, че тази нива всъщност е от цял клас правоъгълни ниви, при които страните са a и b, а лицето a*b.

Много прост и лесно смилаем пример за обобщение е с четириъгълниците. Нека вземем квадрат – лицето му е S = a*a. Вече сме се абстрахирали от конкретни физични модели. Обобщение е когато кажем, че квадратът е правоъгълник с лице S = a*b, където b = a.

Ето още един пример, който е валиден за обобщение. Можем да решаваме редица задачи от типа:

2x + 4 = 8

x + 1 = 0

0x + 1 = 1

и т.н. Обобщение е когато забележим, че тези задачи се решават по един и същи начин и кажем, че са от типа ax + b = c.

2. Конкретизация и специализация:

Конкретизацията е точно обратното на абстрахирането. Най-често се използва в късния етап – тогава, когато теорията вече е развита и трябва от нея да се изготвят практически задачи. Например когато от знанието за лице на правоъгълник ние намерим лицето на конкретна нива.

Специализацията е близка до конкретизацията, но може да бъде използвана и при формиране на теорията, а не само при нейното прилагане. Например нека разгледаме лице на триъгълник:

Специализация е ако разгледаме формула за лицето на един по-специален вид триъгълници – равностранния:

Виждаме, че специализацията е насочване на теорията в дадено направление.

3. Анализ и синтез:

Това са две неразделимо свързани понятия. Използват се често в математиката и информатиката, но естествено са валидни за всички науки. Обикновено отначало дадена информация се анализира и в последствие получените данни се синтезират.

Анализът означава преход от следствието към търсенето на първоизточника, а синтез е описанието как от първоизточника следва следствието. Например когато един сървър „забие“ ние анализираме ситуацията, събираме информация и откриваме къде е проблема. След това синтезираме получените данни, за да обясним как от този проблем се е достигнало до следствието.

Обикновено както анализ така и синтез включват в себе си метод „разделяй и владей“. При него една задача се разбива на по-малки подзадачи, които са по-лесно решими от учениците.

Схемата за решение на задачи по синтез е най-близката до нашите възприятия – тръгваме от условието и градим твърдения в посока на решението:

p => p1 => p2 => … => pk => q

По схемата за анализ нещата са в обратен ред. Има два метода. Те са:

a) Схема на Евклид:

При схемата на Евклид искаме да докажем, че от едно твърдение p следва твърдение q,  т.е. p => q. Анализът се извършва като разбием твърдението p на по-малки твърдения p1,…, pk. Целта е първоначално да докажем, че от q следва pk, от pk следва pk-1, … , от p2 следва p1, а от p1 следва p т.е.

q => pk => … => p2 => p1 => p

От последното имаме заключението, че от q => p. За да докажем в обратна посока, че p => q, то правим проверка. При схемата на Евклид тя е задължителна, защото ако от едно твърдение следва друго, то обратното не винаги е вярно.

Спомняте ли си в училище когато решавахте задачи по математика, че понякога стигахте до отговор на задачата, но въпреки това учителката ви караше да го заместите в първоначалната задача, за да проверите дали все пак е вярно? Е, решавали сте именно по схемата на Евклид.

б) Схема на Пап:

При схемата на Пап отново търсим p => q и отново разбиваме твърдението p на по-малки твърдения p1, … , pk. Тук се целим директно да докажем, че:

(pk => q; pk-1 => pk; … ; p1 => p2; p => p1) <=> (p => q)

Виждате, че решението на задачата тръгва в обратен ред. Първо доказваме, че от pk => q, после pk-1 => pk, и т.н. При схемата на Пап НЕ се прави проверка в обратна посока. Тя не само, че ще бъде ненужна, но и грешна.

Виждаме, че при задачи, в които търсим p => q, схемата на Пап е универсална, а тази на Евклид не може да бъде прилагана винаги. Схемата на Пап работи както за задачи при които p <=> q, така и при задачи при които p => q, но q => p не е вярно. Ще си позволя да се върна на примера със „забил сървър“. Нека понятието „забил сървър“ е q, а причината p е грешка в конфигурационен файл. Виждаме, че ако имаме грешка в конфигурационния файл, то несъмнено сървъра ще забие, т.е. p => q. Не е вярно обаче, че ако сървъра е забил, то задължително има грешка в конфигурационния файл!

При схемата на Евклид задачите са само от тип p <=> q. За тези от вас, които вече са учили диференциално и интегрално смятане в университета, най-вероятно вече много пъти сте се сблъсквали с тежките доказателства на теореми, в които трябваше да се търси „необходимо и достатъчно условие“. Това са именно задачи от типа p <=> q и почти винаги използват схемата на Евклид за решението си.

Обикновено когато имаме практически проблем, над който искаме да изградим теория, ние започваме с абстрахирането и в последствие обобщението. След това се насочваме в конкретна посока чрез специализация. През целия период ние извършваме анализ и синтез, за да можем да докажем съпътстващите твърдения.

Точно по този начин ние трябва и да преподаваме. За нещастие много учители, а дори и учебни програми, пропускат процеса на абстрахиране и пращат учениците директно в обобщените формули. Това вече се досещате, че естествено поражда въпроси „защо“, които остават неотговорени.

В примерите използвах само математика. Искам специално да подчертая, че този процес е валиден за всички науки. Колкото по-малко абстрактна е сферата на знанието обаче, толкова по-трудно е разграничението на теория и практика и съответно описаните по-горе процеси са по-трудно забележими.