C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Една геометрична задача

Публикувано на 06 юни 2013 в раздел Математика.

Следната задача е дадена със звездичка в учебник по математика от 8 клас. С учудване установих, че повечето хора, които познавам (възрастни, завършили университет) се провалят с гръм и трясък с нейното решение. Задачата е следната:

Задача. Даден е четириъгълник ABCD, за който:

  • Ъгълите CAD и CBD са равни на 50 градуса;
  • Ъгъл BCD е равен на 100 градуса;
  • Ъгъл BDA пък е равен на 45 градуса.

Намерете на колко градуса е равен ъгъл ABC.

 



8 коментара


  1. Филип, няма нищо учудващо - знание, което не се ползва в практиката се губи. (Наистина после се учи по-лесно, отколкото първият път, но в крайна сметка се губи тренинг и нещата се забравят).

    И за да не е коментарът ми безполезен спам, ето моето решение. (В момента съм на служебния компютър и не ми се занимава да качвам четеж): От равенството на ъглите CAD и CBD заключаваме, че около четириъгълника може да се опище окръжност. От там имаме равенство на вписани ъгли : <ADB = <ACB = 45 градуса, <DCA = <DBA = 100 - 45 = 55 градуса. И вече е лесно: търсеният ъгъл е сбор от 2 ъгъла, единишт от които е 55, а другият - 50 градуса. Окончателен отговор: Ъгъл АВС = 105 градуса.

  2. Аз мисля, че е 105 градуса, но тъй като съм зле дори с елементарното смятане, признавам, че може да съм объркал :)

  3. Признавам си, не успях да открия колко точно е ъгъла. Открих 2 случая - на вдлъбнат и изпъкнал четириъгълник. В първия ъгъла е в интервала (0,35), а във втория (0,15). Иначе и в двата случая не може да се опише окръжност около четириъгълника.

  4. Разменил съм 2 ъгъла, сега и аз получавам отговор 105 градуса

  5. Аз го доказах с подобие на триъгълници. Първо - триъгълниците DOA и BOC са подобни по 1-ви признак (май този беше, където ъглите на триъгълниците с равни). Оттук следва зависимостта: DO/OC = AO/BO = AD/BC; Ъглите DOC и AOB са равни като връхни. Отношението на страните, между които са сключени тези ъгли го знаем: DO/AO = OC/OB. Оттук следва, че и триъгълниците DOC и AOB са подобни. Оттам вече се вижда колко е ABC.

  6. Понеже ме попитаха, ето малко по-подробно решението на Валентин Гелински:

    Има една теорема, която гласи следното: Ако една отсечка се вижда от две различни точки под един и същи ъгъл, то краищата на отсечката и тези две точки лежат на една окръжност.

    Използвайки тази теорема, имаме че понеже <CAD = <CBD => A и B виждат отсечка CD под един и същ ъгъл => около ABCD може да се опише окръжност.

    Друга теорема гласи: Необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да бъде вписан в окръжност е сборът на два срещуположни ъгла на четириъгълника да е равен на 180

    Използвайки тази теорема имаме <BAD + <BCD = <CAD + <CAB + <BCD = 180, откъдето ще изразим <CAB = 30 градуса.

    Нека пресечна точка на диагоналите е т.O. Тогава от триъгълник ADO ще намерим <AOD = 85. Тогава неговия съседен <AOB = 95.

    От триъгълник ABO ще намерим
    <ABO = 180 - <OAB - <AOB = 180-30-95 = 55

    Накрая имаме <ABC = <ABO+<CBD = 105 градуса...

  7. ЗДРАВЕЙТЕ ПРИЯТЕЛИ. ДОКАЗАТЕЛСТВАТА НА ЗАДАЧАТА СА ИНТЕРЕСНИ НО ИМАЙТЕ В ПРЕДВИД, ЧЕ "ПОДОБНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ" НЕ СЕ ИЗУЧАВАТ В ОСМИ КЛАС И ЗАТОВА ЗАДАЧАТА НЕ МОЖЕ ДА СЕ РЕШИ С ПРИЗНАЦИТЕ ЗА ПОДОБНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ.СПОРЕД МЕН ЗАДАЧАТА НЕ Е ЗА ЗВЕЗДИЧКА ЗАЩОТО ОТСЕЧКАТА ДС СЕ ВИЖДА ОТ ДВА ЪГЪЛА ПО НА 50 ГРАДУСА. СЛЕДОВАТЕЛНО ОКОЛО ТОЗИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК МОЖЕ ДА СЕ ОПИШЕ ОКРЪЖНОСТ. ОТ ТУК ЗАДАЧАТА СТАВА МНОГО ЛЕСНА ЗА РЕШАВАНЕ.

Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*