* Една геометрична задача
Публикувано на 06 юни 2013 в раздел Математика.
Следната задача е дадена със звездичка в учебник по математика от 8 клас. С учудване установих, че повечето хора, които познавам (възрастни, завършили университет) се провалят с гръм и трясък с нейното решение. Задачата е следната:
Задача. Даден е четириъгълник ABCD, за който:
- Ъгълите CAD и CBD са равни на 50 градуса;
- Ъгъл BCD е равен на 100 градуса;
- Ъгъл BDA пък е равен на 45 градуса.
Намерете на колко градуса е равен ъгъл ABC.
Филип, няма нищо учудващо – знание, което не се ползва в практиката се губи. (Наистина после се учи по-лесно, отколкото първият път, но в крайна сметка се губи тренинг и нещата се забравят).
И за да не е коментарът ми безполезен спам, ето моето решение. (В момента съм на служебния компютър и не ми се занимава да качвам четеж): От равенството на ъглите CAD и CBD заключаваме, че около четириъгълника може да се опище окръжност. От там имаме равенство на вписани ъгли : <ADB = <ACB = 45 градуса, <DCA = <DBA = 100 – 45 = 55 градуса. И вече е лесно: търсеният ъгъл е сбор от 2 ъгъла, единишт от които е 55, а другият – 50 градуса. Окончателен отговор: Ъгъл АВС = 105 градуса.
Аз мисля, че е 105 градуса, но тъй като съм зле дори с елементарното смятане, признавам, че може да съм объркал :)
Признавам си, не успях да открия колко точно е ъгъла. Открих 2 случая – на вдлъбнат и изпъкнал четириъгълник. В първия ъгъла е в интервала (0,35), а във втория (0,15). Иначе и в двата случая не може да се опише окръжност около четириъгълника.
Разменил съм 2 ъгъла, сега и аз получавам отговор 105 градуса
Аз го доказах с подобие на триъгълници. Първо – триъгълниците DOA и BOC са подобни по 1-ви признак (май този беше, където ъглите на триъгълниците с равни). Оттук следва зависимостта: DO/OC = AO/BO = AD/BC; Ъглите DOC и AOB са равни като връхни. Отношението на страните, между които са сключени тези ъгли го знаем: DO/AO = OC/OB. Оттук следва, че и триъгълниците DOC и AOB са подобни. Оттам вече се вижда колко е ABC.
105 градуса. Намерих всички ъгли :)
Понеже ме попитаха, ето малко по-подробно решението на Валентин Гелински:
Има една теорема, която гласи следното: Ако една отсечка се вижда от две различни точки под един и същи ъгъл, то краищата на отсечката и тези две точки лежат на една окръжност.
Използвайки тази теорема, имаме че понеже <CAD = <CBD => A и B виждат отсечка CD под един и същ ъгъл => около ABCD може да се опише окръжност.
Друга теорема гласи: Необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да бъде вписан в окръжност е сборът на два срещуположни ъгла на четириъгълника да е равен на 180
Използвайки тази теорема имаме <BAD + <BCD = <CAD + <CAB + <BCD = 180, откъдето ще изразим <CAB = 30 градуса.
Нека пресечна точка на диагоналите е т.O. Тогава от триъгълник ADO ще намерим <AOD = 85. Тогава неговия съседен <AOB = 95.
От триъгълник ABO ще намерим
<ABO = 180 – <OAB – <AOB = 180-30-95 = 55
Накрая имаме <ABC = <ABO+<CBD = 105 градуса…
ЗДРАВЕЙТЕ ПРИЯТЕЛИ. ДОКАЗАТЕЛСТВАТА НА ЗАДАЧАТА СА ИНТЕРЕСНИ НО ИМАЙТЕ В ПРЕДВИД, ЧЕ „ПОДОБНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ“ НЕ СЕ ИЗУЧАВАТ В ОСМИ КЛАС И ЗАТОВА ЗАДАЧАТА НЕ МОЖЕ ДА СЕ РЕШИ С ПРИЗНАЦИТЕ ЗА ПОДОБНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ.СПОРЕД МЕН ЗАДАЧАТА НЕ Е ЗА ЗВЕЗДИЧКА ЗАЩОТО ОТСЕЧКАТА ДС СЕ ВИЖДА ОТ ДВА ЪГЪЛА ПО НА 50 ГРАДУСА. СЛЕДОВАТЕЛНО ОКОЛО ТОЗИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК МОЖЕ ДА СЕ ОПИШЕ ОКРЪЖНОСТ. ОТ ТУК ЗАДАЧАТА СТАВА МНОГО ЛЕСНА ЗА РЕШАВАНЕ.