C, PHP, VB, .NET

Математическата индукция с база различна от 1 се прилага за твърдения P(n), които са вярни за всяко n > k, но не са вярни при n <= k. На практика при тях методът за доказване е абсолютно същия както със старндартната индукция, но вместо да проверяваме базата P(1) ние проверяваме базата P(k+1). Стъпката на доказване на индукционната хипотеза остава същата. Прочети още…

.

За първи път задачи с използване на математическа индукция са показани през 17 век от Блез Паскал. Тогава обаче той не е дефинирал явно правило за решаване на такива задачи. Чак през втората половина на 19 век Пеано въвежда „аксиома за математическата индукция“. Аксиомите на Пеано за естествените числа гласят следното: Прочети още…

.

Нека се върнем малко назад обратно върху основния въпрос на методиката на обучение – „защо да учим“. Науката е създадена, за да прави абстрактни модели на практически проблеми с цел да съхранява универсални решения, да намира нови решения на съществуващи проблеми и да намира решения на нови проблеми. Прочети още…

.

Вече разгледахме подробно понятието „съждение“. Негово подмножество са т.нар. „математически съждения“. Тяхното основно правило е, че свързват само математически обекти. Логично от математически съждения произлизат и „математически твърдения“. Особено важна част от тях са теоремите.

Болшинството учебници по методика но обучение дефинират теоремите като „вярни твърдения, които трябва да бъдат доказани“. Някои пък определят теоремите като „знакови задачи“. Най-общо има два вида теореми: Прочети още…

.

Нека имаме едно твърдение. Дадена ни е задача да определим дали това твърдение е вярно или грешно. За удобство ще приемем, че трябва да докажем, че твърдението е вярно – ако трябва да докажем обратното, то можем просто да обърнем задачата с отрицание на условието й. Вече знаем, че за да можем да кажем, че едно твърдение е вярно, то ние трябва да стъпим на вече преди това приети за вярни твърдения. С други думи искаме да докажем, че има следствие от приетото за вярно твърдение p към новото твърдение q. За целта се използват дедуктивни, индуктивни или умозаключения с аналогия с изоморфни множества.

Ето един прост пример: Прочети още…

.

Деф. Казва се, че от съждение p „следва“ съждение q, тогава и само тогава когато щом p е вярно, то непременно q е вярно. Записваме го като p⇒q.

Деф. Казва се, че от съжденията p₁, p₂, p₃,… p_n следва съждението q, тогава и само тогава когато щом (p₁∧p₂∧p₃∧…∧p_n) е вярно, то непременно q е вярно.

Деф. „Умозаключение“ наричаме съждение, което следва от предишни приети за вярни съждения.

Тъй като умозаключението само по себе си е съждение, то става ясно, че едно умозаключение също може да бъде вярно или грешно. Ще го демонстрираме с няколко примера: Прочети още…

.

Вече се запознахме с понятийния апарат и казахме няколко думи за определенията и твърденията като логически връзки между поредица понятия. Вече е време да прескочим и в „по-дълбоки води“. Прочети още…

.

Обемът на едно понятие съдържа n-орки обекти, които могат да бъдат наредени или ненаредени. Обектите „обхванати“ от едно понятие са обвързани чрез връзки помежду си. Например родствените връзки между майка, баща, син и дъщеря, които са подмножества на понятието „семейство“.

Когато едно понятие P1 с обем V1 съдържа в себе си всички свойства на понятие P2 с обем V2, то ще казваме, че P2 е подмножество на P1 и ще бележим, че V2 V1. Ще казваме, че P2 е видово на P1, а P1 е родово на P2. Например правоъгълникът е родов за квадрата, а квадратът е видов за правоъгълника. Прочети още…

.

В заобикалящия ни свят е пълно с различни обекти. За да ги разпознаваме, всеки един обект се обособява с определено име. Това е възможно, защото всеки един обект е уникален и се различава с нещо от останалите. Например един човек сам по себе си е уникален обект, затова всеки си има име и уникално определящо го ЕГН. Моето куче няма ЕГН, но също е уникален обект – можем да го определим уникално като „кучето Берри на Филип Петров от София„.

Обектите се разделят на прости и съставни. Почти всички обекти са съставни, т.е. изградени от други по-малки обекти. Например вие като обект сте съставен – ръце, крака, глава и тяло. Ръцете от своя страна имат вени, пръсти, кости, кожа; пръстите имат нокът и т.н. Всеки един малък обект може да получи собствено уникално име, например „нокътя на малкия пръст на лявата ръка на Филип Петров“. Кои обекти са прости зависи от формиран от нас т.нар. „базис“. Прост обект може да е атом за една клетка, клетка за един организъм, тухла за една сграда, и т.н. Чрез поставянето на базис ние избягваме описването на обектите до безкрайност. Прочети още…

.

Вече споменах, че винаги практиката предхожда създаването на теорията. Важно е да осъзнаем, че това е така и в обучението. Тук влизаме в противоречие с общата погрешна представа за висшите учебни заведения, където предметите са разделени на две – лекции и упражнения – и се счита, че на лекции се учи само теория, а на упражнения е практиката. Истината е, че това не е точно така – на лекции не се учи само теория, но има и практика. Едни добре подготвени методически лекции трябва да включват в себе си първо практически примери над които вече да се изгражда теорията. От изградената теория пък вече се влиза в упражненията – затвърждаване на знанията чрез решаване на редица примери, които естествено са чисто практически.

Методите за изграждане на теория са абстрахиране и обобщение, конкретизация и специализация, анализ и синтез. Всички те разгледани заедно формират моделиране (като се има предвид, че се моделира теория). Ще разгледаме тези методи за един по един, като ще дам елементарни примери: Прочети още…

.