C, PHP, VB, .NET

Вече се запознахме с понятийния апарат и казахме няколко думи за определенията и твърденията като логически връзки между поредица понятия. Вече е време да прескочим и в „по-дълбоки води“.

След като вече се запознахме с множествата от понятия, то лесно можем да преминем в територията на съжденията. Добре е първо да дам обаче формална дефиниция:

Деф. „Съждение“ наричаме преценка за вярност на твърдение.

С други думи чрез съждения ние даваме отговор дали едно нещо е вярно или не е. Има три възможности за резултат от съждение – вярно, грешно и неопределено. Например от твърдението „небето е синьо“ ние можем да направим съждение, че е „вярно“. На твърдението „небето е червено“ ние правим съждение, че е „грешно“. На твърдението, че космосът е безкраен ние с досегашните си знания можем да направим съждение, че не се знае, т.е. е „неопределеност“. С други думи „неопределено“ е твърдението, за което нямаме достатъчно информация, за да направим съждение.

Някои твърдения зависят от параметри. Например „слънчево е“. Ако в момента е ден и няма облаци, то съждението за това твърдение ще е „вярно“. Ако обаче и нощ, то съждението за това твърдение ще е „грешно“. С други думи имаме параметри, чрез които достигаме до съждението – те са наличието на облаци и час от деня.

Съжденията върху прости твърдения са лесни. Когато имаме сложни твърдения, то съжденията върху тях наричаме „съставни“. Например твърдението „небето е синьо и морето е червено“ е връзка между две твърдения. Първото твърдение „небето е синьо“ води до съждение „вярно“, а за второто съждение „морето е червено“ ще направим съждение „грешно“. Ясно е, че за да направим общо съждение, то трябва да преценим какъв резултат дава съюза „и“. За целта е подходящо да използваме следната таблица:

Съждение p	Съждение q	Конюнкция p∧q	Дизюнкция p∨q	Импликация p→q	Равнозначност p↔q	Отрицание !p
1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1
0	0	0	0	1	1	1

В таблицата „1“ означава „вярно“, а „0“ означава „грешно“.

Виждаме, че вече имаме възможност да обобщаваме твърденията си, чрез конкретизиране на параметрите им. Например споменатото преди малко твърдение „слънчево е“ може да бъде обобщено като „ако е ден и няма облаци, то е слънчево“. Именно по този начин се формират теоремите, но за тях ще говорим в следваща статия.

Под конюнкция разбираме съюз „и“. От таблицата е вижда, че при съюз „и“ трябва или двете съждения да са с „вярно“, за да е вярно общото. Ако дори едно от съжденията е „грешно“, то общото съждение е „грешно“. В този смисъл съждението за твърдението „небето е синьо и морето е червено“ е „грешно“.

Под дизюнкция разбираме съюз „или“. При него е достатъчно само едното от двете съждения да е вярно, за да е вярно общото. Например „небето е синьо или морето е червено“ ще дъде съждение „вярно“, защото първото от двете „под-съждения“ е „вярно“.

Под импликация разбираме „ако-то“. Приема се, че p→q е грешно само когато p=1 и q=0 – във всички останали случаи е вярно. Тук ще трябва да се дадат повече примери, за да стане ясно какво се случва. Например нека имаме твърдението „Ако Иванчо обича Мария, то той ще ѝ подари цветя“. Нека разгледаме възможните комбинации:

1. Иванчо обича Мария (съждение p = 1) и той ѝ подари цветя (съждение q = 1), следователно общото съждение p→q е вярно;
2. Иванчо обича Мария (p = 1) и той НЕ подари цветя (q = 0), следователно общото съждение p→q е грешно;
3. Иванчо НЕ обича Мария (p = 0), следователно, независимо дали е подарил цветя (q = 1) или не (q = 0),  приемаме общото съждение за вярно.

Под равнозначност разбираме „тогава и само тогава“. Например „учениците са отличници тогава и само тогава когато взимат частни уроци“. Нека отново разгледаме възможностите:

1. Ако учениците са отличници (p=1) и взимат частни уроци (q=1), то съждението p↔q е вярно;
2. Ако учениците са отличници (p=1), но някои от тях НЕ взимат частни уроци (q=0), то съждението е грешно;
3. Ако учениците взимат частни уроци (q=1), но някои от тях не са отличници (p=0), то съждението пак е грешно;
4. Ако учениците НЕ са отличници (p=0) и НЕ взимат частни уроци (q=0), то приемаме съждението за вярно.

В горните примери нарочно намесих един много важен момент при правенето на съждения. Забележете думите „някои от тях…“. С това подсказвам, че ако имаме изключение в твърдението, то това влияе съществено върху цялото съждение за него. Например нека имаме твърдението „хората в България са умни“. Ако имаме дори един единствен българин, който НЕ е умен, то сме длъжни да направим съждение „грешно“. Много е важно да запомните именно този принцип – той е основен. Например ако трябва да оцените твърдението „всички Марсенови числа са прости“ ще изпитате затруднение – Марсеновите числа са безкрайно много. За щастие е достатъчно да намерите само едно Марсеново число, което НЕ Е просто, за да докажете, че твърдението като цяло е грешно.

При отрицание нещата са очевидни. Ако кажем „небето НЕ е синьо“ то ние правим отрицание на твърдението „небето е синьо“. Понеже небето е синьо (p=1), то съждението за твърдението „небето не е синьо“ ще бъде грешно (!p=0).

След като разполагаме с този апарат, то вече сме готови да напишем няколко формули, които ще наречем „релации на еквивалентност“. Те са много, но най-основните са:

1. p ∧ q ↔ q ∧ p
2. p ∨ q ↔ q ∨ p
3. (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)
4. (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r)
5. (p ∧ q) ∨ r ↔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
6. (p ∨ q) ∧ r ↔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
7. ! (!p) ↔ p
8. p → q ↔ !p ∨ q
9. !(p ∧ q) ↔ !p ∨ !q
10. !(p ∨ q) ↔ !p ∧ !q
11. p → q ↔ !q → !p
12. p → q ↔ !q ∧ p → !p
13. p → q ↔ !q ∧ p → q
14. p → q ↔ !q ∧ p → 0

Тези релации лесно се доказват. Ето например как можем да докажем 11 (вие докажете останалите):

Съждение p	Съждение q	Импликация p→q	Съждение !p	Съждение !q	Импликация !q→!p
1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	1
0	0	1	1	1	1

Можем да използваме тези релации на еквивалентност, за да преобразуваме изречения, като запазваме логическите връзки в тях. Например ако имаме твърдението:

„Ако депутатите са със свален имунитет, то могат да бъдат съдени“ (*).

Нека „депутатите са с имунитет“ е x, а „депутатите могат да бъдат съдени“ е y. Така съждението „депутатите са със свален имунитет“ ще бъде !x (с други думи „депутатите са със свален имунитет“ и „депутатите НЕ са с имунитет“ приемаме за еквивалентни). Следователно твърдението (*) се записва като:

!x → y (1)

От релациите за еквивалентност знаем, че p→q ↔ !q → !p. Така от (1) следва, че:

!x → y ↔ !y → x

Нека сега преведем последното изречение !y → x:

„Ако депутатите НЕ могат да бъдат съдени, то те са с имунитет“ (**)

Виждаме, че твърдението (*) и твърдението (**) са еквивалентни. Можем да използваме този принцип, за да решаваме или съставяме сложни логически задачи.

Много е важно да поставяме скобите правилно. В реалните изречения те са запетайките. Например нека дефинираме следните твърдения: „ако имам пари“ $, „ще си купя монитор“ p, „ще си купя принтер“ q и „ще си купя телевизор“ r, и нека образуваме следните изречения:

1. $ → (p ∧ q) ∨ r;
2. $ → p ∧ (q ∨ r).

Първото изречение се превежда като „ако имам пари, то ще си купя монитор и принтер, или телевизор„. Второто изречение е „ако имам пари, то ще си купя монитор, и принтер или телевизор„. Виждате, че границата е много тънка и трябва да се внимава. Ето какво се получава реално:

Съждение p	Съждение q	Съждение r	(p ∧ q) ∨ r	p ∧ (q ∨ r)
1	1	1	1	1
1	1	0	1	1
1	0	1	1	1
1	0	0	0	0
0	1	1	1	0
0	1	0	0	0
0	0	1	1	0
0	0	0	0	0

Нека имаме пари ($ = 1) и решим да спазим правилото, т.е. да направим така, че съждението да е вярно. При първият вариант ние имаме две възможности в повече – едната е, че можем да купим принтер и телевизор, а другата е, че можем да купим телевизор самостоятелно. Виждате, че само с разлика от една запетайка в обещанието си можете да се ограничите значително в правото си на избор.

А какво ще кажете за изречението без запетайка, т.е. „ако имам пари, то ще си купя монитор и принтер или телевизор„? Ясно е, че тук имаме възможност за „тълкуване“, т.е. да спорим къде да поставим запетайката.

Сега си представете ситуация, в която сте се забъркали в някоя каша и в съда от подобно записано в закона изречение зависи това дали да бъдете осъден или не. Една малка запетайка може да обърка вашата съдба. Именно магистратите се натъкват често на подобни беди и затова няма как да не сте чували фразата „тълкуване на закона“. Истината е, че ако законите минаваха през стриктното одобрение на един такъв логически апарат за съждения, то наистина щяха да бъдат еднозначни и нямаше да има нужда от „тълкуването“ им.

За финал нека пак се върнем малко назад с примера на твърдението „българите са умни“, което нека оценяваме със съждение p. Ако хората с български паспорти са „n“ на брой, то можем спокойно да си дефинираме твърденията „българинът k е умен“, които ще оценим със съждения pk. Сега да погледнем съдържанието на понятието „българите“ – то включва в себе си именно тези обекти хора, които са обединени чрез една конюнкция и тя е връзката между тях, че имат български паспорт. От тук можем да изведем следната еквивалентност:

p ↔ p₁∧p₂∧…∧p_n

От дясната страна на тази еквивалентност ако намерим поне един българин с пореден номер i, който оценим, че не е умен, т.е. p_i = 0, от там цялата поредица от дизюнкции ще бъде 0. Тъй като имаме равнозначност, съждението p също ще бъде 0. С други думи ако намерите дори само един българин, за който кажете, че не е умен (а аз съм напълно убеден, че ще намерите такъв), то цялото съждение „българите са умни“ ще даде резултат „грешно“. За щастие това НЕ означава, че „българите не са умни“. Защо?