C, PHP, VB, .NET

Представям ви препис от записки по третата лекция на проф. Иван Ганчев на вече несъществуващата избираема дисциплина „Теоретични основи на обучението по математика“. Темата засяга основните въпроси около реформите в обучението па математика между 1961 г. и 1968 г.

От 1959 г. до 1962 г. се разширяват връзките между Международната комисия по математическо образование (МКМО) и Организацията на обединените нации за образование, наука и култура (ЮНЕСКО). С това комисията получава и по-силна подкрепа за обновяване на учебното съдържание по математика в учебните програми на различните държави. През 1962 г. се провежда поредния международен конгрес в Стокхолм, където МКМО представя три доклада, два от които се явяват основни за подготвяните реформи:

1. Джон Кемени (САЩ) – какви теми и какви приложения на съвременната математика могат да намерят място в програмите на средните училища;
2. Стефан Страшевич (Полша) – за връзката между аритметиката и алгебрата в преподаването на математика на деца на възраст до 15 г.

Третият доклад е бил свързан с подготовката на учители за преподаване на различни видове уроци. Централен доклад се явява първият. В него авторът обобщава опита на 21-те държави от различните подкомисии за обновяване на съдържанието на учебния материал по математика. Съобщава се, че в повечето от отчетите на тези държави се предлага в училищния курс по математика да се въведат четири нови раздела:

1. Елементарна теория на множествата;
2. Увод в математическата логика;
3. Определени теми от съвременната алгебра – група, пръстен, поле и елементи от линейна алгебра;
4. Увод в теория на вероятностите и математическата статистика.

Посочват се и теми от традиционния курс, на които би могло да се дъде съвременна трактовка. Мотивира се необходимостта за модернизиране на езика и структурата на училищната математика. Предлага се и отпадането на три групи от теми:

1. Синтетична геометрия;
2. Тригонометрия и конкретно решаване на триъгълник;
3. Изучаване на геометрични тела.

Във втория доклад отначало се разглежда мястото и връзката между аритметиката и алгебрата към 1962 г. Посочва се, че почти навсякъде картината е следната:

• В първите 4-5 години се изучават естествените числа и 0, десетичната бройна система, четирите аритметични операции и метричната система;
• Пета, шеста, а понякога и седма година обхващат обикновени дроби, десетични дроби, пропорции и практически приложения на математиката;
• Седма, осма и девета година се появява нова учебна дисциплина – алгебра, – в която се включват операции с цели, дробни и ирационални изрази, рационални числа и уравнения от I и II степен.

По този начин училищната аритметика и училищната алгебра стават изкуствено откъснати една от друга. В аритметиката са се развивали предимно изчислителни навици и умения за решаване на текстови задачи с аритметични методи. В алгебрата пък са се изучавали преобразувания на буквени изрази, решаване на уравнения и приложението им при решаване на задачи. Въпросите свързани с математическата логика са били напълно изолирани. Практически не е имало теореми и доказване на теореми. Тоест обединяващите идеи, които са се дискутирали на конкресите, реално са липсвали. Авторите са предложили училищната математика да се реформира, като се приближи максимално до съвремените тенденции, включително в началните класове. Например предлагат да се въведат прости понятия от теорията на множествата и съждителното смятане, да се изявят структурните свойства на изучаваните числови множества, изразено да се формира общото понятие „функция“ като двучленна релация, да се засили логическата страна на изучавания материал, а не само тренировъчната. Освен тези нови обединяващи идеи, да се прокарат някои символи, понятия и идеи от традиционната алгебра в аритметиката – уравнения, неравенства, буквена символика, и др.

След конгреса на дейността на МКМО се разширява. Включват се нови държави. Засилва се сътрудничеството с ЮНЕСКО. Работи се за създаване на центрове за информация по въпросите на математическото образование по различните държави-членки. Начело на МКМО са Андре Лихнерович от Франция, Ханс Фройдентал от Нидерландия, Андрей Колмогоров и Сергей Соболев от СССР. Започва активна работа и между 1963 г. и 1966 г. се провеждат три конгреса, на които се дискутират основно следните въпроси:

• Въвеждане на нови методи в обучението;
• Влиянието на математическите изследвания върху преподаването;
• Съвременните тенденции в преподаването на математика в средните училища.

Алексей Иванович Маркушевич описва разбиранията за същността на готвената мащабна реформа в статията си „К вопросу о реформе школьного курса математики“ в списанието Математика в школе, кн. 6 от 1964 г. Там той посочва, че съществено влияние за реформата е дошло от трактата на колектива Никола Бурбаки за елементите на математиката, в който са подредили всички доказателства в изрядна строгост. Маркушевич твърди, че именно общността на Бурбаки е повлияла силно за пречупване на визията за училищната математика като цяло. Признава се, че не представлява трудност въпросните идеи да бъдат реализирани, т.е. децата биха могли да усвоят математически понятия като множество, релация (функция, геометрично преобразувание, релация на еквивалентност, релация на наредба), алгебрична операция (и свързаните с нея понятия като група и поле), и др. И най-вече, мотивира се, че изучаването на тези понятия биха било полезно за развитието на децата.

Кардиналният въпрос, който е стоял на този етап, е бил следния: ако общите идеи и понятия заемат централно място в училищната математика, а традиционните въпроси се разглеждат в качество на примери, илюстриращи тези общи идеи и понятия, то няма ли да се разрушат условията, в които до сега са получавани знания и умения, които са необходими за много видове свързани дейности? В крайна сметка изучаването на математика трябва да не е самодостатъчно, а да е от полза и за другите науки. Тоест кое е основното и кое второстепенното?

Именно така е настъпило и известно разделение. Във Франция, Белгия и някои други западни държави се е отишло в посока към фундаменталните структури. В други държави като САЩ и СССР насоката е била в по-умерено съчетаване на класическото съдържание с модерните тенденции. В САЩ обаче се отказват от въвеждане на елементи от математическия анализ, което се счита за крачка назад в реформата. В СССР и съответно целия източен блок (в т.ч. България) се е счело, че като основен материал трябва да се изучават числови системи, линейни уравнения, квадратни уравнения, координати, елементарни функции, графики на функции, вектори, симетрия, еднаквост, хомотетия и основи на диференциално и интегрално смятане (с фокус приложение в геометрията и физиката). При нас се приема, че обобщаващите понятия като релация, група, поле, линейно пространство и т.н. не трябва да са изходни пунктове, а трябва да се появяват като резултат от изучаването на другия материал след съответни обобщения. Изключение в това отношение се прави за понятието „множество“.

Естествената следваща стъпка идва през 1966 г., когато на Международен конгрес на математиците (МКМ) в Моксва фокуса се измества от учебното съдържание и се насочва към методите на преподаване. Основните доклади са три:

• Развиване на математическата дейност на учащите се и ролята на задачите в това развитие;
• Използване на аксиоматичния метод в горните класове;
• Преподаване на математика на физици.

Свързано с първата и втората тема А. С. Крыговская е разпространила сборник с научни статии. Интересен доклад е изнесъл и Папи, в който е пропагандирал активно за въвеждане на емпиричния метод за обучение още от ранна възраст (6-7 години) и за обогатяване на математическия опит на децата по други предмети, дори например с песните в музиката. Интересен доклад изнася Абрам Аронович Столяр за логическия елемент в обучението по математика. Силно включване прави и акад. Колмогоров.

Друг забележителен международен форум, където също се третират въпросите на реформата в математическото образование, е Международния колоквиум по актуални въпроси на преподаването на математиката в средните и висшите училища в европейските страни. Той се провежда през 1968 г. в Букурещ. Организиран е от МКМО по инициатива на ЮНЕСКО. На този форум се разглеждат следните въпроси:

• Ролята на обучението по математика в съвременното общество – отчитат се вече осъзнато и социалните фактори на реформата;
• Общи принципи и методи при реформата – обръща се вече сериозно внимание и на съгласуваността между раформата в съдържанието и реформата в методите на обучение, т.е. започват да се отчитат псилогическите и физиологическите изследвания. Също така се прави сериозен анализ на съгласуваността в обучението по математика между различните степени в образованието, а не само при прехода между аритметика и алгебра;
• Подготовка на кадри – на математическите кадри въобще, на новите учители в различните степени, на непрекъснатото информиране и усъвършенстване на съществуващите учители;
• Засилване на международното сътрудничество – размяна на информация, учебници, научна литература, общи комисии, и др.

След дискутиране на докладите и приключване на разискванията се правят редица изводи и препоръки. Като цяло изводите са:

• В началното училище е съществено важно учащите да получат първи елементи от възпитание на съвременно математическо мислене. Механичното изучаване на изчислителната техника трябва да се замени с дейност, организирана около основните понятия: множество, релация, функция, композиционен закон, и т.н. Дейностите трябва да мобилизират мисълта на учащите и да я насочват по пътя на самостоятелното мислене и търсене;
• Трябва да се направи насочване на учениците като цяло към повече абстракции, умения за математическо моделиране, откриване на математически зависимости, способност за писмената им формулировка на математически идеи, откриване на математически структури (вкл. и логически), способност за решаване на математически задачи, умения да се прилагат математически знания в нематематически области;
• Препоръчително е да се създадат бързо научно-изследователски институти или центрове за разработка на въпросите на педагогиката на математиката;
• Препоръчително е да се въвеждат мерки за увличане на учителите в реформата на математическото образование.

България също се повлиява от тези идеи. За първи път статии, свързани с реформата, излизат през 1964 г. (на Милош Иелинек). Издадена е и книга на Ян Вишин от ЧССР. През 1968 г. се провежда конференция по въпросите на образованието по математика в град Варна. Като цяло се е работило основно върху превеждане на литература от чуждестранни източници, издаване на статии и книги, и разработване на докторски дисертации. Усилията за провеждането на цялостна реформа не се увенчават с пълен успех. Успява да се реформира само началното образование (I до IV клас), IX и XI клас.

Литература:

• Бычков, Б. П. (1970). „Международная комиссия по математическому образованию“, сп. Математика в школе, кн. 5;
• Бычков, Б. П. (?). „Международный коллоквиум посвящены модернизации преподавания математики“, ?
• Маркушевич, А. И. (1964). „К вопросу о реформе школьного курса математики“, сп. Математика в школе, кн. 6;
• Обзорен доклад (1965). „Отношения между аритметикой и алгебры в преподаваний математики детям возраста до 15 лет“, сп. Математика в школе, кн. 2.

Въпроси към лекция 3:

• Какви основни въпроси се обсъждат от МКМО на МКМ през 1962 г.?
• Какви са основните идеи за реформа?
• Кои са относните идеи в статията на Маркушевич?
• Какво се обсъжда от МКМО на МКМ в Москва през 1966 г.?