* Фокус с матрица
Публикувано на 02 януари 2009 в раздел Математика.
Намерих следната интересна задача от книгата „Математически Развлечения“ на Мартин Гарднер, публикувана в България през 1974г. от изд. „Наука и Изкувство“.
Погледнете следния квадрат (матрица от числа):
19 08 11 25 07
12 01 04 18 00
16 05 08 22 04
21 10 13 27 09
14 03 06 20 02
Повечето хора знаят за „магическите квадрати“, в които сумата на всички числа по диагонали и хоризонтали е една и съща. Този квадрат не е такъв. Въпреки това ще ви покажа, че е специален.
Препишете квадрата на лист хартия. Изберете си едно число (напълно произволно) и го оградете с кръгче. След това задраскайте числата по хоризонтала и вертикала спрямо това число.
Сега изберете което и да е число от останалите (тези които не са задраскани или оградени с кръгче). Отново го оградете и задраскайте всички, които са по хоризонтала и вертикала спрямо него.
Продължете по същия начин – накрая ще остане само едно единствено число. Оградете и него с кръгче.
За финал намерете сбора на всички оградени с кръгче числа. Аз съм сигурен, че той ще се окаже числото 57. Познах ли? Опитайте се да откриете защо се получава така.
сборът от числата по централния диагонал на матрицата е 57 (и на двата диагонала). това има математическо доказателство, но не го знам как точно беше формулирано.
Добре започваш… Само, че хич не си задължен да избираш числа по главния диагонал – можеш да тръгнеш отвсякъде :)
AZ VAOBHTE NE POY4IX SAHTIQ OTGOVOR POY4IX 31
kriska – Някъде си сбъркала. Кажи ми кои числа точно си оградила (първи ред третото, втори петото и т.н. – в този стил).
Добра задачка :) Сумата на всички диагонали е 57, а ако не си избрал числа от един и същ диагонал, то от другите са така изчислени, че да компенсират… Абе не мога да го обясня, ама го виждам, ще чакам все пак отговора да видя има ли нещо по-специално.
ne se polu4ava
Sorry- polu4ava se to4no 57
Довечера ще ви разкрия тайната и ще ви науча как да си направите свои квадратни матрици с произволни размери и суми.
Ако разгледаме всяка квадратна подматрица, без значение от кой ред, забелязваме, че сумата на главния диагонал е равна на сумата на второстепенния.
Наистина сбора на диагоналите е също 57,но от там нататък-пълна загадка…
Погледнете I-вата хоризонтална редица. Първото число е 19; следващото след него се получава като извадим 11 (19-11=8). 3-тото поред число се получава като прибавим 3 към предходното (8+3=11). 4-тото става като прибавим 14 (11+14=25). 5-тото- изваждаме 18 (25-18=7). След това погледнете II хориз. редица. Методът за получаване на числата е същият. Така е във всички редици. (САМО ХОРИЗОНТАЛНИТЕ)
Като разгледаме и метода за получаване на числата и във ВЕРТИКАЛНИТЕ колони, ще открием, че методът в тях е един и същ, но не същият като в хориз.
Ако вземе 1-вото число (19) като „х“, таблицата ще има такъв вид:
x x-11 x-8 x+6 x-12
x-7 x-18 x-15 x-1 x-19
x-3 x-14 x-11 x+3 x-15
x+2 x-9 x-6 x+8 x+10
x-5 x-16 x-13 x+1 x-17
Ако следваме инструкциите за избирането и премахването на числата, винаги получаваме 5х-38, което всъщност е числото 57.
5х-38=57 -> 5х=95 -> х=19 (точно откъдето тръгнахме). Ако направим наша таблица, но вместо 19 сложим друго число и следваме схематичната ми таблица с „х“, ще получим друга „магическа таблица“, но вместо 57, ще получаваме друго число.
ЧИСЛОТО, КОЕТО ИЗБИРАТЕ ДА Е НА МЯСТОТО НА 19 ТРЯБВА ДА Е ПО-ГОЛЯМО ОТ 19, ЗАЩОТО В ТАБЛИЦАТА ЕДНО ОТ ЧИСЛАТА Е х-19.
Теорията е моя и наистина не отговаря на въпроса защо се получава все един и същи сбор, но мисля, че е интересна. :)
Първият вид на таблицата нещо не изглежда добре :) Ето може би така е по-нагледна:
x….x-11…x-8…x+6…x-12
x-7…x-18…x-15..x-1…x-19
x-3…x-14…x-11..x+3…x-15
x+2…x-9….x-6…x+8…x+10
x-5…x-16…x-13..x+1…x-17
Е sorry, ама пак не изглежда както трябва. Който може да я разчете- добре. Друг начин да ви я покажа няма.
Ето го и отговорът:
Квадратът не е нищо друго освен познатата табица за събиране, но е в необичаен вид. Използвани са две групи числа: {12, 1, 4, 18, 0} и {7, 0, 4, 9, 2}. Сумата на тези числа е 57. Сложете първото множество числа над квадрата, а второто множество от ляво по вертикала и веднага ще разберете откъде идва фокуса. Елементът (1,1) = 12+7, елементът (1,2) = 1+0, …, (2,1) = 12+0, …, (5,5) = 0+2.
Надявам се, че съм се изразил ясно. Ако не – че начертая графично решението.
Такива квадрати с различни суми и големини могат да се направят безкрайно много. Възможно е да се слагат отрицателни числа и дроби.
Ето ви още един популярен магически квадрат, даващ сума 34:
Съставен е от множествата {1,2,3,4} и {0,4,8,12}.
Допълнение – разместването на редове и стълбове на квадратите не променя техните свойства. Възможно е да съставите и подобен квадрат на базата на таблицата за умножение – характерното число ще бъде умножението на числата от множеството.
Имаш в предвид от показана готова матрица да се намерят множествата, които са ползвани за нейното съставяне ли?
Интересно ми е как намираме тези множества ( например в 1 задача) ??
Да , ако обясниш ще съм ти много благодарен ~!!!
Оп извинявам се !! Искам да разбера как разбираме тези числа {12, 1, 4, 18, 0} и {7, 0, 4, 9, 2}.
Тези числа ние си ги избираме когато конструираме задачата. Можем да си изберем каквито и да е числа – ще се получава различна матрица с различна сума, но ще има същото „магическо“ свойство.
Да ясно !! Благодаря много !!