C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Задача за четирите точки на Силвестър при кръг

Публикувано на 30 март 2010 в раздел Вероятности.

Задача: Избираме четири произволни точки от единичен кръг. Каква е вероятността те да са върхове на изпъкнал четириъгълник?

Решение: Нека точките са A1, A2, A3 и A4. Линиите A1A2, A2A3 и A3A1 разделят кръга на 7 части, например:

Ако четвъртата точка A4 принадлежи на "белите" части, то четириъгълника ще бъде изпъкнал. Ако точка A4 принадлежи на "червените" части, то четириъгълника ще бъде вдлъбнат.

Вероятността точка A4 да принадлежи в "червената област" на триъгълник A1A2A3 е равна на лицето на триъгълника E разделено на лицето на окръжността (π). Колкото до останалите "червени области" можем да кажем, че средната стойност на очакваните им лица Ei (спрямо връх Ai, i=1,2,3) е равна на средната стойност на очакваното лице на триъгълника Е. Това е така, защото можем да разгледаме тези области като ги вземем предвид за вероятността на т.Ai да лежи вътре в триъгълник AjAkA4 (където i=1,2,3; j=2,3,1 и съответно k=3,1,2). Така E1 = E2 = E3 = E.

От тук можем да заключим, че вероятността за A1A2A3A4 да бъде изпъкнал е равна на лицето на "белите области" разделено на лицето на кръга:

P(A1A2A3A4) = (π - 4E)/π

Така задачата ще бъде решена когато изчислим средната стойност на очакваното лице на триъгълника S(A1A2A3) = E. Решението на задачата дадено от университетът в Бингхамптън за тази задача (което впрочем и досега следвахме 1:1) показва, че E = 35/(48π)

=> P(A1A2A3A4) = 1 - 35/(12π2)

Обобщение за всякакъв кръг: Оказва се, че намерената вероятност е инвариантна спрямо радиуса на кръга. Действително ако решите същата задача за кръг с радиус r ще видите, че отново P(A1A2A3A4) = 1 - 35/(12π2)

 



Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*