C, PHP, VB, .NET

Когато учениците се научат да чертаят „графика на функция“, те обикновено описват координатните оси като „x“ и „y“. Първоначално им се дават задачи от типа „y = x+2“ или подобни. В един момент обаче това равенство се променя и се представя като „f(x) = x+2“. Това предизвиква леко объркване и първоначално неразбиране в учениците. Те правят аналогия между двете, но обикновено не разбират защо е нужна тази промяна.

На първо време искам да вметна, че при „чертаене на графика на функция“, при положение, че вече сме въвели означението „f(x)“, е редно вече да не използваме осите на координатната система означени като „x“ и „y“, а по-добре да ги записваме правилно като „x“ и „f(x)“. Това би допринесло до по-добро разбиране и по-правилно означение. Това помага и в бъдеще, когато учениците трябва да изчертават графики на статистически функции – там обикновено осите имат означения на предмети от реалния свят, а не са тривиалните „x“ и „y“.

Как да мотивираме използването на новото означение „f(x)=…“, вместо „y=…“? Отговорът трябва да дойде не по догматичен, а по логичен път. Ще дам един практически пример. Взех един лист хартия формат A4 и на него нарисувах една окръжност. Сега искам вие да вземете лист хартия и да нарисувате същата окръжност. Да, но вие не виждате моя лист. Тогава каква допълнителна информация ще изискате от мен?

Знаете, че всяка окръжност се задава чрез „център и радиус“. Следователно вие ще поискате три числа – двете координати и дължината на радиуса, като предварително ще трябва да се съгласим да използваме една и съща мерна система – например сантиметри. Е, нека аз ви кажа тогава „нарисувайте окръжност с център (12,10) и радиус 5“. Това вече еднозначно ще определи моята окръжност и вие лесно ще я нарисувате на вашия лист. За по-стегнато изложение можем да направим следното означение „k(x, y, R)“, където обикновено „k“ приемаме за понятието „окръжност“ (практически можем да го въведем и като „окръжност(x, y, R)“). При параметри x=12, y=10 и R=5 за по-кратко записваме „k(12,10,5)“.

Виждате, че по този начин имаме ясна представа за това „какъв е обекта“. Горната функция се превежда като „дадена е функция k, която изчертава окръжност с радиус R и с координати на центъра x и y“. По същия начин можем да дефинираме функция „сума(x,y)“, която да представя „сбора на числата x и y“. В този случай можем да запишем и математическата формула за функцията, а именно: „сума(x,y) = x+y“. При функции, които изискват изчисление на алгебрична стойност това е възможно.

Сега вече е лесно да обясним какво е „f(x) = x+2“. Това се превежда като „функцията с име f приема един параметър x и има алгебрична стойност x+2“. От тук насетне решаваме един важен проблем – дублирането на имената на функциите. Представете си например, че трябва да изчертаете едновременно графиките на функциите „y = x+2“ и „y = 2x -1“. Това означение води до абсурд – „y“ може да приема едновременно две различни стойности за едно и също x. Логически (за да няма абсурд) това би трябвало да ни доведе до решаване на система, в която еднозначно да определим „x = 3“, а от там „y = 5“. Да, но нали „x“ беше променлива? Изобщо тук задачата се изопачи напълно! Ако ние обаче запишем функциите като „f(x) = x+2“ и „g(x) = 2x-1“, то този проблем го няма. Продължава да е наличен обаче проблемът с чертаенето на графиките на функциите в една координатна система. Ако едната ос се означи с „x“, то какво ще бъде означението на другата? Редно ли е да я запишем като „f(x), g(x)“? Според мен – да!

Когато говорим за означение на функции обаче понякога се сблъскваме с друг проблем – несъответствието на действието на скобите с вече известните математически операции. Например учениците са решавали множество задачи от типа:

5(2+3) = 5.2 + 5.3 = 10 + 15 = 25

или по-обобщено

a(b+c) = ab + ac

Учениците са научени да „разкриват скобите“ от предишните си знания. Следователно те биха могли спокойно да направят следното с една функция:

sin(a+b) = sin(a) + sin(b)

Да, но това знаем, че е напълно неправилно, защото „sin“ е име на функция, а не параметър. Какво обаче ни пречи всъщност да имаме параметър с име „sin“? Или три параметъра – s, i и n? Ако това е така, то горния запис става напълно валиден. Не се ли получава неестествено объркване?

Може от гледната точка на времето това да е банален и елементарен за осмисляне проблем, но истината е, че в учебна среда тази грешка е срещана изключително често и този и други подобни проблеми са решени само и единствено с множество упражнения и понякога дори с догматични забрани. Това естествено губи време.

Какво различава „a(b+c)“ от „f(b+c)“? Трябва предварително да знаем, че едното е функция, а другото е израз. Да, но това не винаги е толкова очевидно.

Първото решение е изключително непрактично – да изписваме винаги всичко с функции. Да, но тогава например изразът „2(3x+4)“ ще трябва да се запише като „умножи(2,събери(умножи(3,x),4))“. Очевидно това няма да намери практическо приложение (извън някои ограничени езици за програмиране).

Друго решение е винаги да пишем знакът за умножение, т.е. вместо „a(b+c)“ да пишем „a.(b+c)“. Това според мен е възможно и практично, но може би не чак толкова нагледно. Според мен по-правилното е просто да заменим скобите с друг вид. Например вместо „f(x)“ да записваме функцията като „f[x]“. Това ще разреши напълно проблема с двойното тълкуване! По този начин когато изпишем „f[x] = 3(x+3)“ няма да имаме никакво двусмислие коя операция каква е – скобите от дясно можем да ги „разкрием“ спокойно, докато тези от ляво не!.

Обобщение: предложението ми е да променим означението на скобите на параметрите на функциите, както и означенията на осите на координатните системи. Така евентуалните задачи биха изглеждали по следния начин:

Задача: Изчертайте графиките на функциите f[x]=cos[x-1] и g[x]=2(sin[x+2]+1/3)

Решение: