C, PHP, VB, .NET

Представям бърз, нередактиран и вероятно неточен превод от английски език, който направих за няколко часа на една статия от конференция миналата година. Надявам се да не се сърдите за неточностите, правописните грешки и стиловите грешки. Те са мое дело, а не на авторката.

Мотивиране на студенти от хуманитарните дисциплини
да разберат математическите концепции чрез цитати

н.с. ІІІ ст. Йорданка Горчева

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 419 – 428

Ще дискутираме различни аспекти на използването на математически цитати в клас пред студенти по хуманитарни дисциплини: исторически, философски, логически, естетически, психологически, педагогически и междупредметни.

1. Въведение

Даването на ефективни математически инструкции на студенти, които са насочени повече към хуманитарни науки е доста предизвикателно за учителите. То не зависи само от възможностите на учениците да покрият материала. Психологическите фактори са лични чувства за математиката, които те носят от ученическите си години може да затруднят значително тяхното обучение по математика в университета.

Хуманистичният подход на обучение по математика включва правилен избор на методи за предаване на учебната програма, които да бъдат приспособени за аудиторията. Сред инструментите, които имат потенциал да показват математически идеи в ясен и кратък подход без формули са математическите цитати. Яркостта и въображението на ума ги правят специален раздел, който е добре приет както от професионални математици, така и от хора без математически опит. Заедно с нестандартната интерпретация на математически концепции и тяхната приложимост в ситуации от реалния живот, подобни цитати често показват светлина от ситуации от реалния живот върху математиката.

2. Цитатите в обучението по математика

Знанието в математическите цитати прави математическите концепции по-разбираеми и по-впечатляващи за студентите. Те могат да бъдат използвани успешно като съвременно средство за изграждане на математическо мислене. Математическите цитати правят дисциплината по-популярна, по-приятна и по-близка до студентите, както и да им дадат увереност, че сами могат да се справят с програмата. Флерон (1998) докладва, че е въвел цитати в ежедневното обучение като започвал всяка една лекция с „цитат на деня” написван на дъската предварително. Той забелязал, че тази практика била приета добре от студентите и те говорили за цитатите дори преди започването на часовете.

Аз също използвам цитати за математиката в учебните часове когато обучавам студенти от хуманитарни дисциплини, но в различна форма. На мен ми се струва много по-логично да използвам цитатите свързани с конкретна тема и да ги показвам на аудиторията си чрез презентации на PowerPoint. Темата, която избрах свързана с числата. Естествено се позволява вмъкване на картинки, звукови ефекти и музика за подсилване на ефекта и да бъде много по-атрактивно за аудиторията. Този подход значително повиши интереса на студентите от хуманитарни специалности към математиката и драстично увеличи мотивацията в клас.

3. Аспекти на обогатяване на знанията на студентите чрез цитати

Моите усилия да илюстрирам много аспекти на математическите концепции чрез математически цитати ме накара да ги организирам по следния начин:

А. Исторически аспекти

„Прогреса на обществото”, подчертава Гроздев (2007), „зависи все повече и повече от модерните постижения на математиката. Проблемът тук е, че усвояването на математически знания е специфичен процес и не трябва да се пренебрегва историята като се стартира образованието с модерна математика и се пропуснат класическите математически резултати”

Примери за използване на математически концепции могат да бъдат намерени в исторически събития и документи – факт, който помага на студентите да осъзнаят силата на математическата литература. В „Декларацията за Независимостта на Съединените Американски Щати” (4 юли 1776) Томъс Джеферсън (1743 – 1826), един от нейните автори, е използвал „Елементи” на Евклид като образец въпреки, че е писана повече от 2000 години преди това. Обръщайки се към същия въпрос на 6ти април 1859г. Ейбрахам Линкълн прави следното изявление:

„Принципите на Джеферсън са дефиниции и аксиоми на свободното общество”

От години за изучаването на математиката е дадена привилегия за свободен човешки дух. Джон Адамс (1787 – 1801), които също е един от основателите на Съединените Американски Щати заедно с Вашингтон и Джеферсън, е оставил на поколенията забележителен цитат:

„Аз трябва да изучавам политика и право, за да могат моите синове да имат свободата да изучават математика и философия!”

Б. Философски аспекти

Мястото на математиката в системите на човешкото знание е широко дискутирано сред математици и философи. В дисертацията на Табов (2004) пише:

„Математиката, с нейната висока степен на абстракция като философия например, не може да се класифицира нито като хуманитарна, нито като научна и така не е резонно да я слагаме по-близо до едното от другото. В този смисъл когато се говори за дупка между математиката и хуманитарните науки трябва да се вземе под внимание, че тази дупка може да се запълни, но за тази нужда са нужни обмислени и практически изпитани методи”

Студентите отговарят на въпроса „Какво е математика?” на базата на техен личен опит. Затова в моята презентация аз пускам и хумористични описания на математиката, защото те засягат много важни математически обекти като числата:

„Ако е зелено е биология, ако мирише е химия, ако са числа е математика, а ако не работи е технология!”
(неизвестен автор)

В. Логически аспект

Може би най-голяма роля на математическите цитати в класната стая е правилното илюстриране на изучените теми. Наред със смешните цитати аз използвам и следния:

„Философията е игра с цели и без правила. Математиката е игра с правила и без цели”
(неизвестен автор)

Това помага на студентите да разбират важността на правилата в математиката. Докато математическите дефиниции могат да бъдат интерпретирани като един вид правил, които определят свойства на математическите обекти, неправилното боравене с дефинициите може да доведе до грешни изводи. За няколко години аз се сблъсках с интересна ситуация докато обучавах студенти по темата за простите числа. Когато бъдат попитани да напишат няколко прости числа, повечето студенти обикновено написват 3, 5, 7, 11, 13, … Понякога те вкарват и числата 1 и 2 в тази поредица. За мен беше предизвикателство да опресня техните знания за това какво са изучавали в училище. По напредналите си спомнят, че числото 2 е единственото четно просто число и, че числото 1 не е просто по дефиниция. Така следващата ми стъпка е да попитам студентите да формулират дефиницията за просто число. Следният отговор се среща най-често:

Дефиниция 1: Числата от множеството N={1, 2, 3, 4, …}, които се делят само на 1 или на себе си се наричат прости числа

За да помогна на аудиторията да поправят грешката самостоятелно записвам тяхната формулировка на дъската и ги карам да проверят дали числото 1 удовлетворява дефиницията. Така студентите се убеждават, че 1 удовлетворява условията на дефиниция 1, т.е. то трябва да е просто. Грешният резултат дава светлина на това какво е пропуснато от тях и те предлагат следното преформулиране:

Дефиниция 2: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които имат точно два различни делителя се наричат прости числа

В тази ситуация аз отново карам учениците да използват числото 1 и да пробват примера пак. То всъщност има точно два различни делителя: числата 1 и -1. Така още веднъж се оказа, че числото 1 е просто, а то както знаем не е. Накрая студентите се досещат защо техните дефиниции са грешни и дават дори две правилни формулировки:

Дефиниция 3: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които са по-големи от 1 и се делят само на 1 и на себе си се наричат прости числа

Дефиниция 4: Числата от множеството N = {1, 2, 3, 4, …}, които имат точно два различни положителни делителя се наричат прости числа

Г. Естетически аспект

Античният философ Проклус (412 – 485) казва:

„Където има число – има красота”

След като дефиницията на простите числа е изяснена аз показвам на аудиторията един от най-важните резултати от теорията на числата – теоремата за безкрайност на простите числа. Нейното доказателство има различни подходи, които Айгнер и Зиглер (2003) показват още в началото на „Книгата”. Доказателството на Евклид обаче впечатлява студентите със своята гениална простота и те дори коментират, че дори шестокласници биха я разбрали.

Древногръцките математици са били привлечени много от един специален клас числа, които са равни на сумата на техните делители по малки от самите тях. За да им дадат термин те използват още по-силна дума от „красиво” и ги наричат „съвършени”:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Следващото съвършено число е 33 550 336, което показва, че в интервала от 10⁵ до 10⁷ няма други съвършени числа. Този факт кара френският математик Рене Декарт (1596 – 1650) да каже:

„Съвършените числа както съвършените мъже са много редки”

Понеже използвам този цитат в клас, но Декарт не е уточнил какво означава „съвършен мъж”, аз се принуждавам да го изясня чрез друго изказване направено три века по-късно от Съмърсет Маугхам:

„Съвършенството е това, което американските жени очакват да намерят в техните съпрузи… но в Англия жените само се надяват да го намерят в техните прислужници”

Подобна хумористична игра с понятията в математиката и ежедневния живот се разиграва интересна дискусия за това как студентите разбират красотата на математиката. Може страдайки много от скучни математически дейности в училище, студентите посочват като основна характеристика на математическата красота „наличието на идея, която неочаквано „прерязва въжето” на разсъжденията и значително скъсява решението на задачата”.

Д. Задълбочаване на знанията по предмета

Математическите цитати от световно известни школи носят кондензирано експертно знание и често дава необичайни перспективи на математически идеи. Важно свойство на безкрайното множество N на всички естествени числа (както и множеството Q на рационалните числа) е неговата изброимост, в контраст с неизброимото множество R на всички реални числа. Чрез множество от подмножества на N, Георг Кантор (1845 – 1918) между тези два различни типа безкрайност: ако броят на елементите в множеството N се запише като A и броят на елементите в множеството R се запише като B, то може да се запише, че A<B. Така в света на трансфинитните числа съществува подобна наредба A<B<C<… без трансфинитни „дупки” помежду им, както е при естествените числа 1<2<3<… където няма свободни „места за цели числа” между елементите.

Идеята на Кантор предизвика интерес в аудиторията и през идните часове бях помолена да бъдат дискутирани отново. Някои от студентите дори доведоха приятели, които не бяха записани в класа, за да слушат за йерархията на безкрайностите. Техният интерес ме вдъхнови за да цитирам изключителния австрийски психолог и философ Ернст Мах (1838 – 1916), който последва Кантор:

„Математиката може да се разгледа като икономия на броенето. Няма задача в математиката като цяло, която не може да се реши чрез директно броене”

В моите лекции студентите се впечатлиха от различните свойства на двата класа реални числа (рационалните и ирационалните). След като разбраха, че ирационалните числа се разделят на два класа – алгебрични и трансцедентни, те много адмирираха метафората на журналиста Ричард Престън (1992):

“Няма крайно алгебрично уравнение изградено от цели числа, което да даде точната стойност на Пи. Ако уравненията са влакове вървящи по повърхността на тези числа, то нито един влак няма да спре върху Пи”

Е. Психологически и педагогически аспекти

Може би във всеки математически клас има студенти, които не са разбрали всичко, което е казано. Дори обучавана вкъщи, дамата на криминалния жанр Агата Кристи (1890 – 1976) се почувствала толкова отегчена от нейните всекидневни математически упражнения, че в нейната автобиография тя пише:

„Аз продължавах да решавам аритметика с моя баща, преминавайки гордо през дроби и десетични дроби. Аз евентуално достигнах до мястото където много крави изядоха толкова много трева и варели се напълниха с вода за толкова много часа, че аз го намерих дори за увлекателно”

Обратната връзка със студентите също така може да помогне да се изясни дали има проблеми с учебната програма, неудоволствие от метода на преподаване или страх от математиката. Те показват на преподавателите как учебния процес може да бъде подобрен. Във връзка с това как учебното съдържание по математика се излага пред студентите, американският професор Стан Гуддър препоръчва:

„Същността на математиката не е да направи простите неща сложни, а да направи сложните неща прости”

С още по-артистична гледна точка поетът Дороти Паркър съветва:

„Лекарството за скуката е любопитството. За любопитството няма лекарство”

В по-широк смисъл „лекарството” може да бъде интересна тема, групова работа, запитване базирано на дейностите, неочаквани методи на обучение и др.

Няма много математически книги, които дават на учениците да четат инструкция като следната:

„Ако не успеете да разберете написаното в параграфа, дори след три четения, най-вероятно вашият мозък е започнал да се уморява. В такъв случай оставете книгата настрана и се занимайте с други неща. Следващия ден като се върнете свежи, вие най-вероятно ще намерите написаното за доста лесно”

Това е дадено от математика Луис Карол (1832 – 1898), авторът на „Алиса в страната на чудесата” в книгата си „Логика на символиката”.

Ж. Проблеми с пола

В моите класове нито жените, нито момчетата изпитват проблеми при задаването на въпроси, да изразяват мнения, да направят консултации за допълнителна работа или да постигнат добър резултат. Примерите с жени с изключителни постижения в математиката целят да покажат, че математическите постижения нямат пол. Така, че моята цел да използвам цитати свързани с държанието на жени в математическа обстановка е, за да подобри атмосферата в класната стая. Освен това искам да дам на студентите идеята, че ние говорим за жените в математиката, защото в нея има също и мъже. Ето мнението на тоположката Мери Елън Рудин, която също е прекрасен учител и майка на четири деца, на тема защо жените математици в академичните среди продължават да не се представят:

„Математиката определено е нещо, с което жените биха се справили много добре. Тя е много интуитивна. Не ви трябват много машини и не ви трябва  много физическа сила. Затова защо не стават много жени математици? Аз мисля, че в това има причина, може би социална, че момичетата отказват да погледнат – те просто не желаят да опитат нещо, което те виждат като труден проблем в математиката. Момчетата от своя страна са склонни и жадни да се борят с трудни проблеми”

Френският журналист Марсе лАрхард (1899 – 1974) също няма съмнение, че жените имат неоткрита сръчност в математиката. Позволих си да добавя фраза до неговият цитат, пълен с приятелски хумор, за да съдържа и четирите аритметични операции:

„Жените имат страст за математиката. Те делят техните години наполовина, удвояват цената на техните дрехи”, изваждат нещо от тяхното тегло „и винаги добавят поне пет години към възрастта на тяхната най-добра приятелка”

З. Междупредметни връзки

Процесът на мотивиране на студенти от хуманитарни науки да изучават математика е по-ефективен, когато се говори за връзките между математиката и другите дисциплини. Например архитектите Ешер, Фулър и Рубик дължат своята свобода и креативност в тримерното пространство до голяма степен именно заради тяхното разбиране на математика. Обратно – тяхната работа също е източник на вдъхновение за по-нататъшно развитие на математиката.

Съвременник на Лобачевски (1792 – 1856), превъзходният руски поет Александър Пушкин (1799 – 1837) е изключително вдъхновен от духа на епохата, когато неевклидовата геометрия се родила. Ето и част от това, което е написал Пушкин:

„Вдъхновението е нужно в геометрията точно толкова, колкото и в поезията”

Древният математик Питагор също е добре известен с неговата музикална скала. По начин достъпен за ученици, Келеведжиев и Дженкова (2007) обясняват математическите концепции зад структурата на скалата на Питагор. Авторите правят музикални аналогии на много популярни математически понятия и обекти, като например „Златна среда” и „Числа на Фибоначи” и показват много примери.

Лайбниц (1646 – 1716) също отбелязва връзка между музиката и математиката:

„Музиката е удоволствието на човешката душа да брои без да знае, че брои”

Мейсън Куули (1927 – 2002), преподавател по английски език и литература, е показал удивителен паралел:

„Математиката – тиха хармония. Музиката – звучащи числа”

Такива цитати могат решително да променят „гастрономската” идея за дробите като нарязана пица, както се дават тривиални примери в училище.

Забавен начин да покажа на студентите, че математиката не е само дисциплина за изучаване, но също и начин на мислене, е примерът с един специален вид прости числа, които се дават със следната дефиниция:

Дефиниция: Две прости числа образуват „секси двойка”, ако абсолютната стойност на тяхната разлика е равна на 6

Следвайки тази дефиниция студентите намират „секси двойки”: 5 и 11, 7 и 13, 11 и 17, 17 и 23, 31 и 37, и т.н. След това те започват да си мислят „защо тези двойки се наричат секси”. Отговорът идва от това, че дефиницията се базира на лингвистична ситуация: „sex” е латинската дума за „шест”. За да не оставим лингвистичната идея изолирана казвам на студентите и следната шега: „Римляните не са намирали алгебрата за много трудна, защото за тях X винаги е било 10”.

Дискутирайки връзките между математиката и лингвистиката, аз показвам на класа интересната история на Жосия Уиллиард Гиббс (1839 – 1903) – един от най-великите американски учени. Фокусиран в неговото изследване, той рядко давал изявления. Участвайки обаче в комитет, чиято цел била да подобри американското обучение чрез отрязване на часове от математиката и давайки ги на изучаването на чужди езици, той не можел да остане безгласен. Ето историческата реч на Гиббс:

„Математиката Е език”

Темата за числата също ми дава възможности да кажа също неща и за езика на математиката. Като размерности на дадено множество, наречени фрактали, неотрицателните числа отварят цяло ново поле от приложения: фрактална геометрия. Когато попитах студентите дали са чували думата „фрактали”, един от тях отговори: „Да, това са вид гущери, нали се сещате?”. Съгласих се с него и показах картинка с подобно създание.

После обаче показах друга картинка, след която студентите единодушно казаха: „О, това е изкувство!”.

В такава ситуация едва ли има нещо по-подходящо от думите на Беноа Манделброт (1977), основателя на фракталната геометрия:

„Като език математиката може да бъде използвана не само за да информира, а също заедно с други неща да прелъстява…”

4. Последствията от използването на математически цитати в моите класове

Психологът Барху сСкинър (1904 – 1990) казва: „Образованието е това, което оцелява след като изученото бъде забравено”. Признанието, което получавам от аудиторията незабавно след презентацията не е само чрез аплодисменти. Много от студентите ми казват колко много са благодарни за времето и усилията които съм инвестирала в намирането на подходящи цитати и сглабянето им в едно цяло. Два месеца по-късно един от студентите показа в стил презентация за математиката и музиката. След една година вече бивш мой студент ми изпрати e-mail с Power Point презентация свързана с бизнес. Там тя беше използвала математически концепции и цитати за структуриране на идеите и привличане на вниманието на аудиторията. Така класът по техен собствен начин ми показа, че те са разбрали моето съобщение чрез цитат към тях:

„Математиката не е спорт за зрители”
(неизвестен автор)

За тези студенти математиката стана език за комуникация. Те използваха източниците, които бях препоръчала – най-вече уеб сайтовете на Furman University и Westfield State College, както и книгите на Димовски (1972), Гайтер и Кавазос-Гайтер (1998) и други.

5. Цитати за цитатите: заключителни пояснения

Когато вземете книгите на Луис Карол има един цитат. Следният диалог от новелата „Силви и Бруно” (2002) е кратка математическа история за стойността и живота на цитатите:

–          Кой е най-големият източник на наука, как мислиш – книгите или умовете?

–          Ако имаш предвид живите умове, то не е сигурно, че е възможно да се прецени. Има толкова много писана наука, че никой жив човек не може да прочете, но има и много изречена наука, която все още не е написана. А ако имаш предвид човечеството като цяло, то умовете побеждават: всичко записано в книги трябва поне веднъж да е било в нечий ум!

–          Това не е ли както едното правило в алгебрата? Имам предвид ако приемем умовете като параметри, не можем ли да кажем, че най-малкото общо кратно на всички умове съдържа тези книги, но не и обратното?

–          Определено можем, но само ако успеем да приложим това правило на книгите! В намирането на най-малкото общо кратно ние изхвърляме количество когато се появи, с изключение на случая когато е повдигнато на най-високата си степен. Така, че трябва да заличим всяка записана мисъл, с изключение на изреченията които са записани с най-голям интензитет.

Именно този интензитет на мислите е това, което се опитвам да засиля в моите студенти по хуманитарни науки чрез математически цитати. Моето намерение е да им покажа съкровището на концепциите и красотата, които да разширят техния хоризонт на мислене. Надявам се, че в бъдеще те ще търсят различни уеб сайтове с математически цитати, които се появяват в интернет. Тази тенденция в интернет е доказателство, че модерния свят се нуждае от скъпоценните камъни на красивите умове, които са се появявали през годините.