C, PHP, VB, .NET

Задача наричаме проблемна ситуация с ясно зададена цел, която трябва да се достигне. В математиката задачите имат за цел да упражняват знанията за свойства от обема на понятията. Във всяка задача се работи с подмножество на математически обекти от обема на понятието.

Нека дадено математическо понятие „покрива“ множество от обекти M. Ако напишем последователност от едно или повече изречения, чрез които описателно се задава подмножество R на M и се постави цел да се намерят обектите на това множество, то казваме, че тази последователност от думи се нарича „задача“.

Практиката е наложила всички задачи да следват еднотипна и ясна структура от няколко елемента:

1. Условие на задача: едно или повече изречения чрез които се задават описателно свойства на елементите от множеството R. Множеството М трябва да се зададе явно, освен ако не се подразбира (ако в даден урок се работи само с това множество, то ние няма нужда да го указваме всеки път);
2. Заключение на задача: ясно задаване на целта на задачата, т.е. посочването на обектите от множеството R;
3. Решение на задачата: дейността, чрез която чрез дедуктивни или пълни индуктивни разсъждения се посочват обектите от множеството R;
4. Отговор на задачата: кратко и ясно изброяване на обектите от множеството R.

Нека дадем няколко примера:

Пример 1: Да се намерят реалните корени на уравнението x² – 5x + 2=0

Тук множеството М е безкрайното множество на реалните числа. Множеството R се състои от подмножество на реалните числа, а именно корените на уравнението. Заключението на задачата явно указва, че тези корени трябва да бъдат намерени и посочени.

Пример 2: Да се реши уравнението 4x + 2 = 2.(x + 1) + 2x

Тук множеството M не е явно посочено, но учениците обикновено го знаят с кои числа работят в дадения урок. Множеството R както ще видите е безкрайно множество (решенито на задачата е 0x=0 и отговорът е „всяко x е решение“), т.е. множеството R съвпада с цялото множество M.

Пример 3: Да се реши уравнението 2x + 3 = 2.(x+1)

В тази задача отново множеството М не е зададено явно. Множеството R пък е празното множество (защото решението на задачата е 0x = 2 и отговорът е „няма решение“).

Пример 4: Даден е триъгълник със страни 3, 4 и 5 сантиметра. Намерете лицето на триъгълника.

Отново множеството М не е зададено явно, но се подразбира, че е множеството на реалните числа. Множеството R е с обем едно число, което е лицето на дадения триъгълник.

Пример 5: Да се построи триъгълник по дадена страна 5 см., ъгъл срещу нея 30 градуса и радиус на вписаната окръжност 3 см.

Множеството R е подмножество на множеството М от всички тройки неконелиарни точки в равнината (върхове на триъгълници).

Особено внимание естествено се обръща на решението на задачите. Както споменахме по-рано, то трябва да се състои от последователност на дедуктивни или пълни индуктивни разсъждения. Стандартно задачата се решава по схемата на синтез (от свойствата дадени в условието към търсене на отговора). Когато обаче в условието на задачата е зададен и нейният отговор (това са задачите, в които заключението започва с „докажете, че“), то могат да се използват схемите на анализ на Пап или Евклид (от отговора към свойствата дадени в условието).

Спомената последователност от разсъждения в решението на задачата естествено са краен брой. Те трябва да са възможно най-прости „стъпки“ в решението на задачата и трябва да се базират на верни умозаключения.

Тук идва и времето да се покаже разликата между задачите и теоремите. Не случайно при дефиницията на теоремите споменахме „знакови задачи“. Ако една задача се отнася към целия обем от обекти на понятието, за което се отнася, то можем да кажем, че тя е потенциална теорема. Именно чрез научно-познавателния метод „обобщение“ може тази задача да бъде формулирана като теорема. Така и разграничаваме задачите от теоремите – задачите обикновено се отнасят към крайни подмножества от обекти, а теоремите към всички обекти на понятията с които работят.

Множеството R от обекти за дадена задача само по себе си обикновено не е понятие за разлика от множеството M. Когато обаче дефинираме понятие, чийто обем е множеството R, то ние спокойно можем да кажем, че задачата се е превърнала в теорема спрямо нововъведеното понятие. Именно по този начин с времето чрез определени задачи са въвеждани нови понятия, а самите задачи – обобщавани като теореми.

Колкото повече се развива математиката, толкова повече понятията се подреждат в строга структура. Така теоремите се явяват основно средство за фиксиране на знания, а задачите за упражнение на добити знания или евристика за достигане до обобщени задачи, т.е. научаване на нови теореми. В по-ранното развитие на математиката не е било така – задачите са били основното средство за фиксиране на знания, защото обемите на понятията все още не са били фиксирани строго.

С казаното дотук можем да обобщим, че задачите са основно дидактическо средство в математиката. Основно се счита, че задачите имат четири функции:

1. Обучаващи: развиват евристичните способности на учениците, с цел достигане до обобщение на теорема;
2. Развиващи: поддържат и затвърждават знанията придобити от теоремите;
3. Контролни: задачите се явяват много удобно средство за проверка на знанията;
4. Възпитателни: развиват научен мироглед и трудови навици.

Не трябва да забравяме и може би най-важната роля на някои от задачите, а именно – да моделират практически проблеми. Експериментите обикновено са именно модели, които свързват науката с практиката.

За статията са използвани материали предимно от книгата „Методика на обучение по математика – обща част“, Благоевград 2002г.