C, PHP, VB, .NET

Вече разгледахме подробно понятието „съждение“. Негово подмножество са т.нар. „математически съждения“. Тяхното основно правило е, че свързват само математически обекти. Логично от математически съждения произлизат и „математически твърдения“. Особено важна част от тях са теоремите.

Болшинството учебници по методика но обучение дефинират теоремите като „вярни твърдения, които трябва да бъдат доказани“. Някои пък определят теоремите като „знакови задачи“. Най-общо има два вида теореми:

1. Теореми-свойства: добавян нови свойства към обема на понятието, което засягат. Тези теореми дават т.нар. „необходими условия“;
2. Теореми-признаци: това са твърденията, които се изказват чрез импликация (ако-то). Тези теореми дават т.нар. „достатъчни условия“.

Теоремите-свойства се прилагат тогава, когато имаме обект от определен вид. Теоремите-признаци пък се прилагат тогава, когато искаме да докажем, че даден обект е от определен вид.

Възможно е теореми-свойства и теореми-признаци да бъдат обединявани в една обща теорема. Това се получава когато използваме словосъчетанието „тогава и само тогава когато“, т.е. използваме равнозначност. Казваме, че такива теореми дават „необходими и достатъчни условия“. Формално можем да наречем тези теореми като „смесен тип“. По принцип не е добре да бъдат използвани защото са неудобни – усложняват логиката. По-добре е да бъдат разбивани на две части.

Всяка теорема е свойство на понятието от условието и признак на понятието от заключението си. Например нека имаме следната теорема:

(Т) Ако един четириъгълник е успоредник, то две по две срещуположните му страни са равни.

Условието е четириъгълникът да е успоредник, а заключението е, че срещуположните страни му са равни. Така основното понятие в условието е „успоредник“ и теоремата е свойство на успоредника. В същото време теоремата е признак за равността на спещуположните страни. Така можем да заключим, че теоремите-свойства и теоремите-признаци изразяват „двуличност“.

Най-важното нещо след изказването и доказването на една теорема е да се направи извод „за какво може да бъде използвана“. Така се изяснява именно „свойство на какво е“ и „признак за какво“ е тя. Именно това пояснение помага на учениците на да разберат и запомнят теоремата. С цел да подпомогнем ефекта на „досещането“ у човека, трябва също така да направим връзка с други сходни теореми и да ги присъединяваме в множества

Когато подреждаме теоремите трябва да ги систематизираме по техните признаци и свойства. Например всички теореми свързани с успоредник могат да бъдат систематизирани в едно множество „теореми за успоредник“. Не би било полезно да ги смесваме заедно с теоремите за триъгълник.

Необходимо е по време на решаване на задачи да се позоваваме на теоремите и да ги припомняме винаги когато има нужда. Освен това задачите трябва да са разпределени така, че да упражняват всяка една теорема равностойно. Това се нарича „схема на съвършения анализ“. Упражняването на прилагане на теорема чрез задачи е задължително – в противен случай се губи основното ѝ свойство, а именно – да бъде „знакова задача“ на която се позовават други.

Така забелязваме, че теоремите са едно изключително удобно средство за „икономия на труд“. Когато докажем нещо в една задача и срещнем абсолютно същото в друга – ние не го доказваме, а го използваме наготово. Можем веднага да си направим аналогия с правото в САЩ, което е направено на базата на „прецеденти“ – когато едно дело вече е било свършило и се появи аналогичен случай, то съдията се позовава на първото (прецедент) и взима същото решение за второто.

В заключение ще кажа, че теоремите са инструмент, който може да бъде използван и в други сфери освен математиката. Така например в биологията различните биологични видове се класифицират по техни общи свойства. Там също има твърдения за тези класове от биологични видове, които спокойно можем да определим като теореми. Казва се, че колкото „по-точна“ е дадена наука, толкова по-лесно може да бъде систематизирана чрез теореми.