C, PHP, VB, .NET

Представям ви препис от записки по първата лекция на проф. Иван Ганчев на вече несъществуващата избираема дисциплина „Теоретични основи на обучението по математика“. Темата засяга основните въпроси около реформите в обучението па математика през XIX и първата половина на XX век.

I. Развитието на математиката, другите науки и икономиката налагат в началото на XIX век постепенно да се установи една система на математическо образование, характеризираща се със следните особености:

1. В нея се оформя един курс на училищна математика (елементарна математика) със съдържание, характерно за математиката от древногръцкия и средновековния период. Този курс е съвсем откъснат от математиката, която се е развила през XVII, XVIII и XIX век;
2. Създават се особени пропедевтични курсове по аритметика и геометрия за началните класове (от Йохан Хайнрих Песталоци, Адолф Дистерверг, и др.). През 1803 г. излиза труд за методика на математиката „Нагледно учение за числата“ от Песталоци;
3. Създават се систематични самостоятелни курсове по аритметика, алгебра, геометрия и тригонометрия, но със съдържание и стил от математиката преди XVII век;
4. Използва се най-простият метод на обучение, при който учителят ясно и научно вярно преподава готови математически знания, а учениците са длъжни да ги запомнят и усвоят чрез последващо решаване на голям брой задачи. Учениците участват в учебния процес главно като слушатели. Липсва психологическа обосновка за мотивация на математическите дейности;
5. Ниска производителност на педагогическия труд на ученици и учители. Ежегодно отпадат до 10% от обучаемите, а през целия курс на средното училище отпадат около 50%. Започва масово да се разпространява мнение, че малко хора са сподобни да изучават математика и се поставя под въпрос дали трябва да е масов учебен предмет;
6. В България обучението по математика е било на много примитивно ниво. Например в „Аритметика“ на Христаки Павлович липсват дори основни математически символи – задачите се решават като „2 и 3 биват 5“, „2 из 3 остава 1“, „3 пъти по 4 бива 12“, „3 в 6 има 2 пъти“, и т.н.

Характерно за началото на XIX век обаче е, че все по-интензивно се развива система от знания за средствата и методите за фиксиране, съхраняване и предаване на математическите знания. Постепенно тази система от знания се развива като научна област, която в различни държави носи различни наименования: педагогика на математиката, дидактика на математиката, методика на обучението по математика. В своето развитие тази научна област не се отличава от останалите. Първоначално се зараждат научни елементи от учебната практика (детски градини, училища), след което се отделят научни елементи от практическите дейности в обучението и се разработват теории за различните системи. Накрая се разработват принципи и подходи за структурирането на системите от научни елементи. Много важна роля в цялата дейност през този период играе науката „Логика“. При всички случаи може да се твърди, че именно в този период започва да се формира зародишът на една научна общност, която започва да мисли в посока за сериозни промени в образованието по математика.

Също така през първата половина на XIX век Галоа и Абел поставят началото на теорията на групите, която се оказва много мощен инструмент не само в алгебрата, но и за изследванията в останалите клонове на математиката. Чрез работите на Грайман, Хамилтън и Гибс през втората половина на века се създава векторната алгебра. Утвърждава се и се развива аксиоматичният метод. Оформя се като наука и теорията на множествата. Утвърждава се и математическата логика, основана от Бул и продължена от де Морган и Фреге. Тоест в сферата на висшите училища е имало сериозен напредък, който рано или късно се е очаквало да даде неизменно своето отражение и в училищната математика.

II. Първи прояви на идеи за изменение на съдържанието на училищния курс по математика в Русия от средата до края на XIX век:

1. Идеята за реформа се заформя се първоначално в Русия около евентуално въвеждане на понятието „функция“ в училище. То постепенно навлиза в периода 1837 г. – 1860 г., като се появява в учебници по алегбра, но само във връзка с теорията за уравненията;
2. В средата на XIX век Михаил Остроградски се застъпва зад идеята да се въведе и застъпи зад понятието „функция“ в училищния курс по математика в Русия;
3. През 1856 г. Пафнутий Чебишев изработва проекто-програма по математика за училищния курс, в която включва елементи от висшата математика и разбира се застъпва понятието „функция“ да се въведе официално. Проектът е отхвърлен, но въпреки това неговата идея продължава да зрее в научните среди. Започва да се говори за формиране и въвеждане на методика на обучение. Така постепенно обсъждането на методически въпроси става съществена част от академичния живот.
4. През 1885 г. в Петербург и през 1890 г. в Москва се създават специализирани центрове, занимаващи се целенасочено с методика на обучение по математика. Едни от основните въпроси, с които се занимават, са свързани с въвеждането на понятието „функция“ в училищния курс, но отново фокусът е поставен само за употреба при решаването на уравнения;
5. През 1898 г. в Москва се създава комисия по въпроса за желателните преобразования в средното училище“.

Идеите разбира се не са били изолирани само в рамките на Русия. Вероятно може да се дадат примери от всички европейски страни, където отделни математици са прилагали свои по-модерни идеи за учебните програми в училищното образование. Отначало е била рядка практиката да се утвърждават национални сдружения, с които промените да се въвеждат под ръководството на централизирани органи. През втората половина на века обаче се оформят много добре организирани общества на математици в Германия и Франция.

III. В края на XIX век и началото на XX век назряват условия за развитие на международно реформистко движение в училищното образование по математика, т.е. да се излезне извън отделни опити на различни държави. Основните аспекти, в които се фокусира международната научна общност, са следните:

1. Извършва се исторически скок и учебното съдържание се модернизира изцяло. Започва преразглеждане на основите на науката математика. В резултат на това между 1890 г. и 1910 г. излиза голям брой книги, например „Елементарна геометрия“ на Жак Адамар, „Освнови на геометрията“ на Давид Хилберт, „Елементарната математика от гледна точка на висшата“ на Фелкс Клайн, „Теория на геометричните построения“ на Аугуст Адлер, „Методи за решаване на геометрични задачи за построение“ от И. И. Александров, и др.;
2. През 90-те години на XIX век по предложение на Георг Кантор възниква движение за съдаване на международно обединение на математиците. Инициативата е подкрепена от известни математици като Поанкаре, Пикар, Клайн и Хилберт. Тази идея се осъществява през 1897 г. чрез провеждането на първият Международен математически конгрес в Цюрих (Швейцария). От тогава започва провеждането му на всеки четири години, с изключение на годините на световните войни. В първия конгрес няма специална секция за методика на обучение по математика, но все пак Феликс Клайн изнася доклад „За математическото образование“. Той предизвиква голям интерес по света. В резултат от него през 1898 г. в Румъния въвеждат елементи от аналитичната геометрия, в училищния курс. Също така внедряват някои елементи от висша алгебра като функции, граници, непрекъснатост, производни и неопределен интеграл. Набляга се на намаляване на теоретизирането, абстрактността и запаметяването, а вместо това се фокусира в засилване на разсъжденията и приложенията. В България по това време се създава Българско физико-математическо дружество с насоченост да подпомага обучението по математика в училищата;
3. През 1899 г. в Париж се организира издаването на международно списание „Обучение по математика“. В редакционната му колегия участват световно известни математици като Жул Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Георг Кантор, и др.
4. На II Международен конгрес на математиците през 1900 г. в Париж се организира секция „Преподаване на математиката“. На нея Давид Хилберт изнася своя знаменит доклад „За бъдещите проблеми на математиката“;
5. През 1900 г. в Берлин, а след това през 1903 г. и 1904 г. Феликс Клайн постепенно развива своята идея за необходимост от реформа и превръщането на понятието „функция“ като водещо за целия училищен курс. Тогава той твърди, че е нужно „понятието функция да пронизва цялото преподаване на математиката в средното училище“. Също така предлага включване на елементи от диференциално и интегрално смятане в гимназиалния курс. Това като идея отново е свързано с изследване на функции. Клайн дори твърди, че в елементарната математика могат да се включат елементи от висшата, стига да бъдат поднесени по подходящ начин на достъпен език. Поставя акцент и върху методите на преподаване, като поставя на преден план изисквания за нагледност чрез повече графики, стимулиране на използването на интуиция при решаване на задачи и повече практически примери;
6. През 1902 г. във Франция се приема нова учебна програма, в която понятието „функция“ се въвежда в третата година на средното училище. След това се въвеждат и изучават понятието „производна на функция“ и се изследват нейните приложения. Съществено място в тази програма също заема понятието „вектор“ и операциите с вектори;
7. Между 1903 г. и 1906 г. излизат учебниците на Емил Борел, в които са отразени споменатите реформистки възгледи от началото на XX век;
8. През 1905 г. в Германия също се приемат нови учебни програми. В нея се реализира идеята за премахване на откъснатостта на училищния курс от науката. Въвеждат се понятията „функция“ и „функционално мислене“. Функциите намират отражение и в Геометрията чрез т.нар. „геометрични изображения“. Започва изучаване на елементи от Аналитична геометрия и Диференциално и интегрално смятане в средното образование;
9. В Русия същата тенденция постига частичен успех през 1906 г., когато се въвеждат самостоятелни раздели с елементи от аналитична геометрия и математически анализ.
10. През 1908 г. на IV Международен математически конгрес в Рим се създава международна комисия за реформа на математическото образование. Инициатор за нея е проф. Дейвид Смит от педагогически колеж в Ню Йорк – историк и методик. За президент е издигнат Феликс Клайн. В комисията участват множество видни за времето математици. Основните идеи на тази комисия са да се изследват съвременните тенденции в развитието на математическото образование в отделните държави и да се съдейства за уеднаквяване на учебните програми в отделните страни, като се очертаят общи принципи при разработването им. Създават се 25 национални подкомисии. Така се достига и до първи по-съществени резултати: някои остарели и безполезни раздели се заменят с нови, въвежда се изучаване на понятието „функция“ навсякъде, учат се елементи от висша алгебра (групи), теория на множествата, диференциално и интегрално смятане, и аналитична геометрия. Тогава се заговаря сериозно и за въвеждане на междупредметни връзки между математиката и другите учебни предмети, да се увеличат значително упражненията и да се фокусира върху практическото приложение на математиката. Въпреки това в първи бюлетин на ICMI, Клайн, Грийнфил и Фер предупреждават, че не трябва да се прекалява с това течение и дават пример с алгебрата и геометрията, като се аргументират, че те са съвсем различни материи и всеки опит да бъдат сливани би навредил и на двете;
11. През 1910 г. и 1911 г. се провеждат заседания на МКМО, в които се обсъждат два основни въпроса – за систематичността в обучението по математика и за функционизма при преподаване на математическите предмети. По първия въпрос се предлага следната спецификация: А – основните понятия се въвеждат строго чрез аксиоми и система от теореми, построени по чисто дедуктивен път; B – основните понятия се въвеждат емпирически, а от даден момент нататък се преминава към строго логическо изложение; C – въвежда се емпирико-дедуктивен подход; D – въвежда се итуитивно-експериментален метод. Костелнуово предлага т. B да се раздели на три подточки. По втория въпрос се подчертава, че има наличен функционизъм между алгебра и геометрия, а няма между планимертия и стереометрия. Там доклад изнася Биош, в който констатира, че в много страни фузионизмът между алгебрата и геометрията се изразява в използване на графики в обучението по алгебра, но планиметрия и стереометрия, както и планиметрия и тригонометрия се изучават разделно. Изключение тогава правят само френските училища;
12. На V конкрес през 1912 г. в Кембридж се прави подробен отчет на свършената дотогава работа и се отчитат първи резултати. Докладът е на А. Фер, който посочва, че „за отчетения период комисията е извършила огромна работа, подготвяйки и публикувайки 280 отчета в 150 тома за състоянието на обучението по математика в различните държави“. Тогава в секцията за „обучение по математика“ се разискват въпросите за математическите аксиоми в елементарната математика, логическото мислене в училищното преподаване, мястото на дедукцията в елементарната механика, и др.;
13. През 1914 г. в Париж се провежда международна конференция на МКМО, в която се обсъждат резултнатите от въвеждането на обучение с елементи от диференциално и интегрално смятане в училищата по света. Друга важна тема от тази конференция е за мястото и ролята на математиката във висшето техническо образование. Емил Борел представя известния си доклад „Как да се съгласува обучението по математика с процеса на науката“. Г. Дарбу тогава докладва много положителни резултати от реформата във Франция от 1902 г.;
14. Работата на МКМО през тези години оказва силно влияние в различните държави. Например от 1909 до 1914 г. в Русия се провеждат три конгреса на учителите по математика, където се обсъждат активно въпроси за реформата в образованието, като мястото и ролята на функционалната зависимост и графиките на функции в училищния курс по математика, въвеждане на елементи от аналитична геометрия, математически анализ и теория на вероятностите, въвеждане на идеята за движение в геометрията и ролята на пропедевтиката в курса по геометрия, приближаване на преподаването на математика към проблемите от реалния живот, функционизмът на различните математически предмети, и др. В България още през 1910 г. учебните програми претърпяват ревизия и в тях силно се застъпва зад понятието „функция“. В четвърти клас (еквивалент на сегашния осми) се дава дефиниция и започват да се изследват някои по-прости функции. В последния клас от средното училище се достига до граници и производни, приложение на производните за изследване на изменения, намиране на минимум и максимум, безкраен ред, признаци за сходимост и развиване на някои функции като редове.

IV. Възстановяване на реформисткото движение между края на Първа световна война и началото на Втора световна война:

1. През 1917 г. известният немски математик Х. Вайл преподавайки теорията на относителността на Айнщайн се натъква на огромни трудности, които студентите срещат при изучаването ѝ. Той стига до извода, че е необходимо така да се преустрои курсът по геометрия, че да стане по-удобен за преподаване на модерната Айнщайнова теория. Той вижда такава възможност във векторната алгебра. След като предлага система от аксиоми (т.нар. „аксиоматика на Вайл“), той доказва, че цялата геометрия може да се изгради на векторна основа. Идеите му тогава разкриват важната роля на векторите за геометрията и в това число започват постепенно да намират приложение и в училищния курс по този учебен предмет.  Векторите започват да се разглеждат не само като средство за разглеждане на физични величини, но също така и като инструмент за рационализиране и построяване по нов начин на цели раздели от училищния курс по математика и на първо място в аналитичната геометрия. Неприятните години от Първата световна война обаче отклоняват вниманието от подобни идеи за реформи;
2. Първата световна война сериозно повлиява на международното движение за реформи в математическото образование. През 1920 г. се прави отчетно заседание, на което Фер отчита ролята и успехите на комисията. Въпреки това се обсъжда и се взима решение организацията да бъде разпусната. До 1924 г. не се води никаква самостоятелно организирана дейност;
3. Между 1925 г. и 1927 г. почиват най-активните дотогава членове – Феликс Клайн и Алфред Грийнхил. С това реално организацията временно престава да работи, а реформисткото движение се разпръсва по отделни държави;
4. Новата комунистическа власт в СССР първоначално е най-активна с въвеждане на мащабни реформи в образованието, включително по математика. Промени обаче се случват навсякъде – Франция, Германия, Австрия и Унгария. Понятието „функция“ вече безвъзвратно навлиза навсякъде в училичния курс по алгебра – използва се при уравнения, при графичен метод за изразяване на зависимости, при графично решаване и тълкуване на решенията на някои задачи, и др. Разработват се и методически разработки за изучаване и използване на това понятие;
5. През 1932 г. на конгрес в Цюрих се изнася доклад от Джино Лория на тема „Теоретическа и практическа подготовка на учителите по математика в различните страни“. С това реално се започва и възстановяване на работата на международното движение за реформи в математическото образование. Избира се нов състав на ръководството, като водеща роля заема Жак Адамар. На различните национални делегации се възлага да подготвят отчети в няколко направления: училищна организация и нови типове училища; съвременни тенденции в преподаването; изпити и програми за изпити по матиматика; методи на обучение, връзка между математиката с други предмети, място на приложение на математиката, учебници; подготовка на учители по математика; функционален подход в геометрията, вектори;
6. В периода 1932 г. до 1936 г. националните подхкомисии публикуват своите отчети. На следващият конгрес през 1936 г. в Осло тези отчети се обсъждат и се отчитат сериозни промени в повечето държави. Оказва се, че училищната математика се е сближила сериозно с науката. Вече в почти всички държави започва изучаване на аналитична геометрия и елементи от анализа в училище. Учебните програми навсякъде претърпяват съществени промени, включително и в България. Излизат множество учебници със съществено обновено съдържание. Вече на преподаването по математика се поставят много високи цели: развиване на функционално и оперативно мислене; усвояване на математически идеи на базата на неголямо количество факти; развиване на евристични методи при изучаване на математика с диференциран подход към учащите се; в началните класове се използва като опора за усвояване на индуктивни прийоми; в средния курс става опора за усвояване на дедуктивни, а в горните класове и на абстрактно-аксиоматични прийоми;
7. В крайна сметка до началото на Втора световна война в държави като Германия и СССР се прави доста мащабни реформи в училищния курс по математика, като дори вече се изучават геометрични преобразования и понятието „вектор“ също става основно в геометрията, наред с вече общоприетото „функция“ за алгебрата. Развитието на евристиката става основен подход и понякога се стига до крайности.
8. С избухването на Втора световна война международното реформистко движение за обученито по математика отново престава да съществува до 1950 г.

Литература:

• Ганчев, И., Колягин, Ю., Кучинов, Й., Портев, Л., Сидоров, Ю. (1996). „Методика на обучението по математика от VIII до XI клас“, София;
• Колягин, Ю. (1980). „Методика на преподаването по математика в средното училище. София;
• Петканчин, Б. (1972). „II международен конгрес по математическо обучение“, Физико-математическо списание, кн. 4;
• Каан, Ж. П. (1990). „ICMI и съвременните тенденции в развитието на математическото образование“. Физико-математическо списание, кн. 1;
• Борел, Е. (1965). „Как да се съгласува преподаването в средното училище с прогреса на науката“. Физико-математическо списание, кн. 1;
• Лалчев, З. (1988). „Векторите в българските учебници по геометрия“. Сп. Обучението по математика и информатика, кн. 5.