* Перлите в чантата
Публикувано на 13 януари 2012 в раздел Математика.
Бившата жена на Аладин намерила вълшебна чанта. Тя можела да събере безкраен брой перли, т.е. наистина несметни богатства. И за нейно щастие успяла да се промъкне в двореца на Аладин и по-точно в стаята с безкрайното количество перли – ти взимаш колкото си искаш, а на тяхно място се появяват нови… За тайното промъкване ѝ помогнал роб, с който се били разбрали да делят плячката.
Било точно 12:00 часа, когато жената се престрашила и взела първите 10 перли. Номерирала ги с числата от 1 до 10 и ги сложила в чантата си. После погледнала роба, извадила перла №1 и му я дала (той пък я сложил във вълшебната си торбичка, в която също се събирали безкраен брой перли).
Решили да си тръгнат… но ги заглождила мисълта, че може да вземат още и не им е достатъчно. Върнали се и точно в 12:30 часа тя взела още 10 перли, номерирала ги с числата от 11 до 20 и ги сложила в чантата. От нея пък извадила перла №2 и я подала на роба, който от своя страна също я прибрал.
Същото нещо се повторило отново, но този път в 12:45 часа. Тя взела нови 10 перли, номерирала ги от 21 до 30, сложила ги в чантата, а на роба дала перла №3. Следващата кражба се случила в 12:52:30 (12 часа, 52 минути и 30 секунди). Тогава взела нови десет перли, номерирала ги от 31 до 40, прибрала ги и дала перла №4 на роба. Процесът на кражбата се повторил безкрайно много пъти с безкрайно „наситняване“ на времевия интервал. Ако се чудите как може да стане това – недейте да се мъчите, било е отново магия.
Точно в 13:00 часа обаче влезнал Аладин и заварил крадците в своята перлена стая. Ядосал се страшно много и веднага им грабнал багажа. После го претърсил…
Колко перли е намерил в чантата на жената и колко перли в торбата на роба? Или кажете поне кои са били повече?
Добре, че и двамата са имали вълшебни торбички, побиращи безкраен брой перли, че иначе бая зор са щели да видят :)
Логиката казва, че в чантата на жената са били намерени повече перли, защото на всяка стъпка тя взема 9 перли, срещу само една перла на съучастника. Обаче математиката се обажда подличко, че след безкраен брой кражби и в двете торбички е имало безкраен брой перли. Сякаш ще се доверя на математиката и ще кажа, че в двете торбички е имало равен брой перли.
Аз пък например мога да кажа, че в чантичката има 0 перли. Действително – посочете един номер на перла, който не е изваден от чантичката и вкаран в торбата? Няма такъв номер :)
Както предишната задача, която написах в дневника, така и в тази имаме неопределеност. В случая от една безкрайност вадим друга.
Тоест решението на задачата е: знаем, че в торбата на роба е имало безкраен брой перли, но колко перли има в чантичката на жената въобще не се знае – количеството им е неопределено.
:-) Грешите, Аладин никога не е влязъл. Тъй като периодът на влизане намалява с двойно, клони към безкрайност. Например, в 12:59:59:59… те са влезли за 10^100 път!!!! Е, издъни се професоре :)
А, не – и за това съм подготвен. Чети тук: https://www.cphpvb.net/history/6490-approies/
От една градина набрали 10кг краставици. Установили, че съдържат 99% вода. Минали 2 седмици, краставиците вече съдържали 98% вода. Колко са тежали втория път?
Само един математик ми я реши задачата, даже и уравнението написа ;)
Василев – тук: https://www.cphpvb.net/fun/3153-%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BD%D0%B8/
:) С нищо не мога да те иненадам.
Абсолютно моя грешка. Чета условието, както ми се иска. Т.е. на първата стъпка на роба се дава перла №1, на втора стъпка перла №11 и т.н… :) При вярно четене на условието наистина имаме неопределеност.
Означавам с n – броя на кражбите.
След всяка кражба робът има n перли, а жената 9n.
Изчислявам съоношението на броя перли на жената към тези на роба и то е 9n/n. За безкраен брой правя граничен преход (лимес) и записвам, че отношението е = lim (9n/n) при n–>oo.
заб. Със „оо“ съм означил безкрайност, все едно цифрата 8 завъртяна на ъгъл пи/2.
Като се съкрати „n“ в числителя и знаменателя се получава 9.
Т.е. отговорът на втория въпрос „…кои са били повече?“ е:
-Повече са перлите на жената. Те са 9 пъти повече.
YES – правете разлика между „безкрайност“ и „клонящо към безкрайност“. Разликата е съществена! Защото например:
[math]limlimits_{xrightarrow0+}{frac{1}{x}} = infty[/math]
Но ако имаме директно заместване, то
[math]frac{1}{0} = ???[/math]
Първото е вярно за „х клонящо към нула“, т.е. много близо до нула, но не и при „x равно на нула“. Да не говорим, че ако „клони от другата страна“ става още по-различно:
[math]limlimits_{xrightarrow0-}{frac{1}{x}} = -infty[/math]
Е, какво става точно в нулата? Не знаем. По същия начин стоят нещата с безкрайностите.
Мисля, че може би тук е обяснено доста добре: http://mathforum.org/library/drmath/view/62486.html
Cliff – ще пусна задачата ти като отделна тема. Въпросът с далтонистите е наистина интересен, иначе задачата е класическа
Това е номера, „лимес от х клонящо към безкрайност“ дава за х някакво много, много, много голямо число… но то НЕ е „безкрайност“. Това е „приближение към безкрайност“, „клонене към безкрайност“! Самото „безкрайност“ НЕ е число. Съответно не се дели на него, не се събира, не се умножава, не се изважда!
И не, не са различни „класове задачи“. Щом си учил за „лимеси“, то си учил и за „неопределености“. Те най-общо казано са:
[math]frac{0}{0}, frac{infty}{infty}, infty-infty, 0.infty[/math]
Пример? Ето:
[math]frac{infty}{2infty}=?[/math]
Ако можеше просто да ги съкратиш и да получиш 0,5 – ок, но не можеш. Просто защото изваждаш 0,5 пред скоби и вътре в тях имаш неопределеност. И тя не се „съкращава“.
И не бъркай горното със следната задача:
[math]limlimits_{xrightarrowinfty}{frac{x}{2x}}[/math]
Да, прилага се правилото на Лопитал и се получава 0,5. Но правилото на Лопитал се прилага само при гранични ПРИБЛИЖЕНИЯ на стойността на x към безкрайност. Самото „x“ никога не достига тази безкрайност.
Точно поради тази причина оборвам твърдението ти, че „перлите на жената са повече“. Не са повече, не са по-малко, не са и равни на тези на роба, просто защото те са неопределен брой. От една безкрайност си извадил друга. Нищо не може да се направи – човечеството е безсилно да реши тази задача.
Ако бях казал, че „Аладин влиза тогава, когато часа КЛОНИ към 13:00…“, то тогава можехме да твърдим спокойно, че жената има 9 пъти повече перли от роба. Обаче в дадената задача имаме проблем… влезнал е ТОЧНО в 13:00 часа.
Филипе, моля за оборване на моето твърдение (че „Повече са перлите на жената. Те са 9 пъти повече“) да се даде пример с лимес от функция(х) при х–>безкрайност, а не при х–>нула+ или нула-, защото това са два различни класа задачи.
Аз продължавам да твърдя, че отговорът на конкретно тази задача не е неопределеност, а 9. Ако имате време, покажете моето (не вашето!) решение на някой ваш колега – доцент или професор и го попитайте дали греша с нещо.
¥€$
Самата безкрайност е абстракция, тя не съществува. Освен само размерите на вселената ( и човешката глупост според Аинщайн). Има само „клони към безкрайност“. Иначе всяка подобна задача ще има отговор или нула или неопределеност.
¥€$