* Бръмбари върху дъска
Публикувано на 20 юли 2011 в раздел Математика.
Задача 1. Квадратна дъска е разделена с хоризонтални и вертикални линии на 25 малки квадратчета. Във всяко квадратче е поставен по един бръмбар. Във един момент всички бръмбари тръгват по хоризонтала или вертикала и всеки един от тях преминава в съседно квадратче. Може ли бръмбарите да извършат движенията си по такъв начин, че на дъската отново във всяко квадратче да има по един бръмбар?
Задача 2. Квадратна дъска е разделена с хоризонтални и вертикални линии на 81 малки квадратчета. Във всяко квадратче е поставен по един бръмбар. Във един момент всички бръмбари тръгват по диагонал и всеки един от тях преминава в ново квадратче. Докажете, че поне 9 квадратчета ще останат празни.
Задачите са взети и перифразирани от
„Сто и тринадесет красиви задачи“
на Мерзляк, Полонски и Якир
Задача 3 (от мен). Какъв е максималният брой свободни квадратчета при постановките на всяка от горните две задачи?
Само едно квадратче
За да не е скучно добавих още една задача от мен :)
Диагоналните също ли спират в съседно квадратче или могат да минават повече?
Да, моята изглежда е по-лесна от другите (няма да карам да даваш доказателства този път)… :)
А дали? Я сега помисли. Задача 2 – имаме 5х5=25 квадратчета. Нека ги боядисаме шахматно в черно и бяло. Определено или черните, или белите квадратчета ще са с едно повече (нека са черните). При преминаването си по хоризонтала/вертикала бръмбарите от черните квадратчета ще преминат в бели и обратно. Да, но черните квадратчета са с едно повече от белите, следователно поне два от бръмбарите, които са били в черни квадратчета, ще се озоват в едно и също бяло. От своя страна „белите бръмбари“ са недостатъчно на брой (с един по-малко), за да запълнят черните квадратчета. Следователно със сигурност ще остане поне едно незаето квадратче, с нашето оцветяване черно.
Отговор на зад.2: Не, не може
Задача 3:
при зад. 5х5 може макс 15 свободни като се образуват 2 успоредни линии с бръмбари по дъската.
при зад. 9х9 може всичките бръмбари да се съберат в 25 квадратчета разпределени на правоъгълни острови 2х2, 2х3 и 3х3.