C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Нова диофантова задача

Публикувано на 07 юли 2011 в раздел Математика.

Днес си измислих привидно лесна задача, която се оказа, че лесно може да се усложни. Оригиналната задача е следната:

"Сборът и произведението на две цели числа е едно и също цяло число. Намерете двете числа"

За да я решим веднага правим системата:

| x+y = z
| x.y = z

и почти без замисляне откриваме отговорът x=2 и y=2 (откъдето z=4). Другото очевидно решение е нулевото: x=y=z=0.

Сега усложнението: има ли други целочислени решения?

 



11 коментара


  1. Няма, разбира се!
    В подобни случаи винаги има не повече от две решения. "Подобен случай" е
    | (x+y)^1.5 = z
    | x.y = z
    Има пак две решения, едното е нулевото, другото го намерете!

  2. Ако едното число е 0, то и другото трябва да е 0, това е вече намерена 2ка. Ако едното число е 1, а другото x, тогава 1+х=х => невъзможно. 2-ката с 2 е намерена. С 3 => 3+х=3х; х=3/2 не е цяло. За всяко следващо се получава х=n/(n-1), което също няма как да е цяло.

  3. Lesna Rabota - Ако вземеш да го докажеш ще се съглася.

    mertol - Как така махна z от уравнението?

    Ето моите разсъждения. От първото уравнение изразяване x=z-y и заместваме във второто - y.(z-y)=z

    => y^2-zy+z=0

    Търсим корените на това уравнение:

    y12 = (z+-sqrt(z^2-4z))/2

    и то такива, че да са цели при цяло z (това е достатъчно и x да е цяло число, защото е разлика от двете).

    Ако sqrt(z^2-4z) не е цяло число, то и y няма да може да бъде цяло число.

    Следователно задачата се свежда до намирането на всички цели числа z, за които z^2-4z е точен квадрат. За 0 и за 4 знаем. Има ли други? Ако докажете, че няма, то ще докажете, че и други решения няма.

  4. mertol - разбрах доказателството ти - не строго, но вярно.

    n+x=z
    nx=z

    Изваждаме двете уравнения

    => n+x-nx=0
    => x=n/(n-1)

    Очевидно е, че това е цяло число само за n=0 и n=2 (би могло да се докаже строго). За отрицателни числа също не става. Това решение направи задачата елементарна...

  5. „Сборът и произведението на три цели числа е едно и също цяло число. Намерете трите числа“
    .
    .
    .
    отговорът е по-долу
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    числата
    са едно
    две и
    три
    и съответно
    шест
    .
    .
    .

    .
    .
    .

  6. Сега остава да намерим общ подход за намирането на решенията на задачата "сборът и произведението на n>1 цели числа е едно и също цяло число" :)

  7. Перфектно решение. Едно доказателство, че това и нулевото са единствени и всичко заспива... Но доказателствата са сложни и отегчителни :) Ще измисля някоя по-интересна задача...

  8. Желая ви успех
    Подсказка при n=4
    1+1+2+4=1.1.2.4=8

  9. Хайде, от мен да мине, и за n=5
    1+1+1+2+5=1.1.1.2.5=10
    ама да черпите

  10. Офф, много се разписах нещо
    1+1+1+1+2+6=1.1.1.1.2.6
    това беше за n=6
    за n=N
    (N-2).1+2+N=1^N.2.N=2n

Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*