* Нова диофантова задача
Публикувано на 07 юли 2011 в раздел Математика.
Днес си измислих привидно лесна задача, която се оказа, че лесно може да се усложни. Оригиналната задача е следната:
„Сборът и произведението на две цели числа е едно и също цяло число. Намерете двете числа“
За да я решим веднага правим системата:
| x+y = z
| x.y = z
и почти без замисляне откриваме отговорът x=2 и y=2 (откъдето z=4). Другото очевидно решение е нулевото: x=y=z=0.
Сега усложнението: има ли други целочислени решения?
Няма, разбира се!
В подобни случаи винаги има не повече от две решения. „Подобен случай“ е
| (x+y)^1.5 = z
| x.y = z
Има пак две решения, едното е нулевото, другото го намерете!
Ако едното число е 0, то и другото трябва да е 0, това е вече намерена 2ка. Ако едното число е 1, а другото x, тогава 1+х=х => невъзможно. 2-ката с 2 е намерена. С 3 => 3+х=3х; х=3/2 не е цяло. За всяко следващо се получава х=n/(n-1), което също няма как да е цяло.
Lesna Rabota – Ако вземеш да го докажеш ще се съглася.
mertol – Как така махна z от уравнението?
Ето моите разсъждения. От първото уравнение изразяване x=z-y и заместваме във второто – y.(z-y)=z
=> y^2-zy+z=0
Търсим корените на това уравнение:
y12 = (z+-sqrt(z^2-4z))/2
и то такива, че да са цели при цяло z (това е достатъчно и x да е цяло число, защото е разлика от двете).
Ако sqrt(z^2-4z) не е цяло число, то и y няма да може да бъде цяло число.
Следователно задачата се свежда до намирането на всички цели числа z, за които z^2-4z е точен квадрат. За 0 и за 4 знаем. Има ли други? Ако докажете, че няма, то ще докажете, че и други решения няма.
mertol – разбрах доказателството ти – не строго, но вярно.
n+x=z
nx=z
Изваждаме двете уравнения
=> n+x-nx=0
=> x=n/(n-1)
Очевидно е, че това е цяло число само за n=0 и n=2 (би могло да се докаже строго). За отрицателни числа също не става. Това решение направи задачата елементарна…
+ дефиниционно множество n!=1
„Сборът и произведението на три цели числа е едно и също цяло число. Намерете трите числа“
.
.
.
отговорът е по-долу
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
числата
са едно
две и
три
и съответно
шест
.
.
.
.
.
.
Сега остава да намерим общ подход за намирането на решенията на задачата „сборът и произведението на n>1 цели числа е едно и също цяло число“ :)
Перфектно решение. Едно доказателство, че това и нулевото са единствени и всичко заспива… Но доказателствата са сложни и отегчителни :) Ще измисля някоя по-интересна задача…
Желая ви успех
Подсказка при n=4
1+1+2+4=1.1.2.4=8
Хайде, от мен да мине, и за n=5
1+1+1+2+5=1.1.1.2.5=10
ама да черпите
Офф, много се разписах нещо
1+1+1+1+2+6=1.1.1.1.2.6
това беше за n=6
за n=N
(N-2).1+2+N=1^N.2.N=2n