* Две задачи от „Lesna Rabota“
Публикувано на 06 януари 2009 в раздел Математика.
Получих два коментара със задачи, които реших, че заслужават отделна публикация. Потребителят се подписва като „Lesna Rabota“. Сега ще видим дали наистина е така:
Зад 1. Намерена е следната бележка: ”######## членове по &&&&&&&,&& всеки = 3007 лева и 37 стотинки “. Не се чете изцяло. Става дума за събран членски внос на една организация. Искаме да разберем колко члена има тя, като знаем, че са под 500. Всички дават еднакъв членски внос, с точност до 1 стотинка. Дерзайте.
Зад 2. Кое е това шестцифрено число (с шест различни цифри), което ако го умножа с 3, 4, 5 или 6 ще се получат други шестцифрени числа, които ще имат същите 6 цифри (в разбъркан ред)?
Все още мисля по втора задача, но засега ще дам отговор без доказателство на първа:
Очевидното решение на задачата е 1. Ако има само един член, то той може да изплати цялата сума сам. Това естествено не ме успокои, защото едва ли е единственото решение. Следната програма на С демонстрира това:
int d = 300737; for (int i=1; i<=500; i++){ if (d%i == 0) printf("%d ", i); }Решенията са 1 и 311 (при 311 члена те дават по 9,67лв). Интересното е, че 311 и 967 са прости числа, което ме навежда на мисълта, че едва ли се използват някакви признаци за делимост. По скоро съм склонен да мисля, че задачата е за информатици, а не за математици :)
Колкото до втората задача – досега съм открил, че най-голямото възможно число е 165987, т.е. търсеното (ако съществува) е в диапазона (102345, 165987). Тази ще се опитам да я реша без писане на програма, а първата ще се опитам да докажа по математически път…
ОК, признавам си, че решавам задачата с малко cheat. Не е нормално да помниш формулата за циклични числа (все още не съм такъв човек), затова си я откраднах от един стар пищов по теория на числата:
(10^(p-1)-1)/p
където p е просто число, което не трябва да дели 10. Тъй като търсим число с 6 цифри е нормално да вземем p=7 (10^6 дава най-малкото седемцифрено число – един милион, което като го разделим на 7 ще ни вкара в нашето множество).
Числото се получи
(10^6-1)/7 = 999999/7 = 142857
Мужду другото това число според google се оказа изключително особено :) Погледнете този калкулатор:
http://www.jeorgethedodo.com/huh_142857.asp
@Lesna Rabota – Много приятни задачи. Все още искам да кажеш дали първата задача е решима без стотици сметки с компютър :)
Е, зачитайки се за циклични числа в нета, открих че p въобще не е такова, каквото го написах по-горе. Наистина е просто число и наистина не дели 10, но всъщност въобще не е произволно. Нарича се „Full reptend prime“:
http://en.wikipedia.org/wiki/Full_reptend_prime
Ех ако не бях отсъствал от тези часове…
за първа задача намерих точен отговор:311 души с 9.67лв членски внос е точно 3007.37.
разбира се, ако вземем точност до 1ст. има и други възможности, например: 296 души * 10лв и 16ст = 3007,36. домързя ме да проверявам за повече решения:)
(в интерес на истината, използвах Excel и реших задачата по „вандалски“ и трудоемък начин:)
сега ще се пробвам със втора задача
прочетох коментарите – отказвам се от втора задача, никога не съм учил нещо подобно, непосилно ми е:)
(sorry за печатната грешка горе, да се чете „с втора задача“)
И двете задачите са доста сложни. Първата не виждам как ще се реши на лист хартия. Втората пък е направо абсурд за човек без познания по теория на числата…
Между другото намека ти за „точност до една стотинка“ е доста коректен. Значи ще има още решения…
Аз пуснах excel първа колонка 1,2,3,4,5, и т.н. втора колонка =300737/първата, трета колонка=CEILING(втората,1) и четвърта=трета-втора и гледам къде е равна на нула и то е при 311. Значи 311 души по 967 стотинки, нали са под 500 души. Excela е голяма работа, вече няма нужда от разни матлабове, маткади и прочее. Вършиш си работата и имаш повече свободно време за срещи ;-))
Като малка съм си играла с калкулатор и знам, че 1/7=0,142857… и се повтаря. А 2/7=0,285714 и подобно се получава и при 3/7 4/7 5/7 и 6/7. Значи числото трябва да е 142857. За такава годишна заплата в $ си мечтая да работя в UK, независимо какво…
Харесаха ми отговорите, особено тези на Мими. Точни са. Аз също съм фен на ексела. Искам да дам още една задачка. А може да помислим и за среща…
Нови две задачи