* Претегляне на монети
Публикувано на 29 юли 2009 в раздел Математика.
Намерих много приятна задача от Сергей Тукарев – дадена на последен кръг от олимпиадата от 1991г в Москва. Имате шест монети, които тежат точно по 1, 2, 3, 4, 5 и 6 грама. Всички те изглеждат напълно еднакви, с изключение на това, че върху всяка от тях е написана цифра, която указва колко грама тежи монетата (естествено това са цифрите 1, 2, 3, 4, 5 и 6, като няма повторения). За съжаление не сме сигурни дали написаните цифри отговарят на тежестта на монетите.
Как ще определите определите дали цифрите написани върху монетите отговарят на грамажите им, ако имате везна и право само на две претегляния? Отговоря се само с „да“ или „не“.
Е хубаво си се опитал да обясниш, но не е вярно. Какво ще стане ако са разменени 6 с 3 и 1 с 4 например? Мерките пак ще дават уж верен резултат. Същото важи за просто разменяне на 1 с 6 – никъде не си сверил дали 1 наистина е 1 и дали 6 наистина е 6. Същото важи ако монетата с надпис 2 е 5, а тази с надпис 5 е 2. Повече примери смятам, че са излишни. С други думи – това решение е далеч от истината :(
Задачата, която си дал е наистина класическа и се решава точно с разделяне на три групи по 4. Нищо чудно и аз тук да съм я пускал. Тази тук е много по-трудна, а се надявам вече да е и по-интересна :)
Разделме монетите на три групи по две: 1-6; 2-5; 3-4.
Претегляме 1-6 на едното блюдо срещу 2-5 на другото. Ако не са равни отговора е „не“.
Ако са равни претегляме 1-6 срещу 3-4.
Ако и те са равни отговора е „да“, ако не са отговора е „не“.
Обяснението е че „7“ е единствения сбор на две монети, който може да се направи с три двойки от 1 до 6. Всички останали сборове на две монети (3..11) се правят само с една или две двойки монети в границите 1..6.
Предлагам една по-интересна задача с везна, която е давана на много места:
Имаме 12 топки, абсолютно еднакви на външен вид. Знаем, че една от тях е с различен грамаж от останалите. Как с три премервания можем да открием коя е различната топка, и да кажем дали е по-лека или е по-тежка!?
Хм, всъщност моя начин не изключва варианта да са подредени в обратен ред на цифрите – 6,5,4,3,2,1.
Ще мисля друг вариант
Общата маса на всички монети е 21гр, по равно могат да се разделят най-много на по 10гр. и най-малко на по 3гр. На 10гр. възможните разделения са 6и4; 5,4и1; 5,3и2; 4,3,2и1 – втория и последния изключват останалите така че отпадат, остават 2. Мерим 6 и 4 срещу 2, 3 и 5, ако излязат равни остава да докажем че са по 10гр. т.е. че 1 е действително 1.
Има 2 варианта при които 1 е разменено и двете купчини от 2 и 3 монети са равни:
6,2,1:5,4 и 6,2:4,3,1 (доказателство: неизмерената монета трябва да е нечетна за да са равни купчините, следователно може да е 3 или 5, ако е 3, купчините остава да са по 9гр. Възможностите са 6,3; 6,2,1; 5,4; 5,3,1; 4,3,2 – има само 1 възможна с 2 и 3 монети. Ако е 5, купчините остава да са по 8гр т.е. 6,2; 5,3; 5,2,1; 4,3,2 – отново само един вариант с 2:3 монети).
При 6,2,1:5,4 се получава:
обозначение: 1; 2; 3; 4; 5; 6
тегло: 3; 2; 1; 4; 6; 5
При 6,2:4,3,1 се получава:
обозначение: 1; 2; 3; 4; 5; 6
тегло: 5; 1; 3; 2; 4; 6
И в двата варианта 1 и 5 са грешни, следователно трябва да ги включим в меренето – например 1и4:5. Тогава в първия вариант ще бъде 7гр:6гр и ще се види че са разменени, при втория вариант ще бъде 7гр:4гр и пак ще знаем че са разменени.
Таблиците обозначение-тегло не са единствените възможни. Но решението пак е вярно, защото:
– при първия случай 1 тежи 3, а 4 може да тежи 4 или 6 т.е. за да излезе равно второто мерене 5 трябва да тежи 7 или 9.
– при втория случай 1 тежи 5, а 4 тежи 2 или 6, т.е. 5 трябва да тежи 7 или 11.
mertol – Не стана ясно алгоритъма на решението ти (а аз понеже имам достъп до истинското, то знам, че твоето почти 100% не е вярно). Напиши директно „на на мерене 1 слагаме от ляво монети x,y, а от дясно z. Ако се уравновеси, то ОК, ако не – не“ и „на мерене 2 слагаме…“.
на първо мерене претеглям 6 и 4 от едната страна и 5, 2 и 3 от другата, на второ мерене претеглям 1 и 4 от едната страна и 5 от другата ако има различни при кое да е от двете значи има объркани номера ако не значи са правилни
mertol – разменям 2 и 3 – решението ти не може да го хване.
Оставям задачата още малко и довечера ще дам решението…
Е, с леко закъснение ето отговора:
1. Слагане 6 от едната страна и 1,2,3 от другата и виждаме дали са равни;
2. Слагаме 1 и 6 от едната страна и проверяваме дали е по-малко от 3 и 5 от другата.
Има и друго решение, което обаче е намерено с компютър и не е посилно за човешкия мозък:
3+6>1+2+5 and 1+3<5