* Евклидови и унитарни пространства
Публикувано на 21 септември 2014 в раздел Линейна алгебра.
В тази статия се разглежда темата за Евклидови и унитарни пространства. По-специално се набляга на метода на Грам-Шмид за намиране на ортогонален базис.
Деф. Евклидово пространство наричаме линейно пространство [mathi]L[/mathi] над полето на реалните числа, в което е въведено скаларно произведение [mathi](L,L) \to \mathbb{R}[/mathi], със следните свойства:
1) [mathi](x,y) = (y,x)[/mathi], като [mathi]x,y \in L[/mathi]
2) [mathi]\lambda_1x_1+\lambda_2x_2, y)=\lambda_1(x_1,y) + \lambda_2(x_2,y)[/mathi], като [mathi]x_1,x_2,y \in L[/mathi] и [mathi]\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}[/mathi]
3) [mathi](x,x)\geq 0[/mathi] за всяко [mathi]x \in L[/mathi]
Задача 1. Дадено е тримерно Евклидово пространство, в което е дефинирано скаларното произведение:
[math](x,y)=3x_1y_1+x_2y_2+2x_3y_3[/math]
Дадени са и векторите [mathi]a_1(1,2,-1)[/mathi] и [mathi]a_2(-1,4,1)[/mathi]. Намерете:
a) [mathi](a_1, a_2)[/mathi]
Решение: Имаме:
[math]\left((1,2,-1), (-1,4,1)\right)= 3.1.(-1)+2.4-2.1.1=3[/math]
б) [mathi](a_1,a_1)[/mathi] и [mathi](a_2,a_2)[/mathi]
Решение:
[math]\left((1,2,-1),(1,2,-1) \right )=3.1.1+2.2+2.(-1).(-1)=9[/math]
и
[math]\left((-1,4,1),(-1,4,1) \right )=3.(-1).(-1)+4.4+2.1.1=21[/math]
Деф. Унитарно пространство наричаме линейно пространство [mathi]L[/mathi] над полето на комплексните числа, в което е въведено скаларно произведение [mathi](L,L) \to \mathbb{C}[/mathi], със следните свойства:
1) [mathi](x,y) = \overline{(y,x)}[/mathi], като [mathi]x,y \in L[/mathi]
2) [mathi]\lambda_1x_1+\lambda_2x_2, y)=\lambda_1(x_1,y) + \lambda_2(x_2,y)[/mathi], като [mathi]x_1,x_2,y \in L[/mathi] и [mathi]\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}[/mathi]
3) [mathi](x,x)\geq 0[/mathi] за всяко [mathi]x \in L[/mathi]
Задача 2. Дадено е тримерно унитарно пространство със скаларно произведение:
[math](x,y)=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}[/math]
Дадени са векторите [mathi]b_1(1+i, 2-i, 1-2i)[/mathi] и [mathi]b_2(1-i, i, 1-i)[/mathi]. Намерете [mathi](b_1, b_2)[/mathi]
Решение: Намираме непосредствено по формулата:
[math]\left( (1+i, 2-i, 1-2i), (1-i,i,1-i) \right )=(1+i)\overline{(1-i)}+(2+i)\overline{(i)}+(1-2i)\overline{(1-i)}=[/math]
[math]= (1+i)(1+i)+(2-i)(-i)+(1-2i)(1+i)=…=2-i[/math]
Деф. Ще казваме, че два вектора [mathi]a[/mathi] и [mathi]b[/mathi] от Евклидово или унитарно пространство са ортогонални ако тяхното скаларно произведение [mathi](a,b)=0[/mathi]
Деф. Една система от вектори [mathi]a_1, …, a_k[/mathi] наричаме ортогонална, ако всеки два вектора измежду тях са ортогонални помежду си.
Деф. Базис от ортогонални вектори ще наричаме ортогонален.
Метод на Грам-Шмид за намиране на ортогонален базис:
Нека имаме съществуващ базис [mathi]a_1, …, a_n[/mathi].
1) Избираме [mathi]e_1 = a_1[/mathi]
2) Полагаме [mathi]e_2 = a_2+\lambda_{21}e_1[/mathi]. Търсим такова [mathi]\lambda_{21}[/mathi], че [mathi](e_2, e_1) = 0[/mathi]. Следователно [mathi]0=(e_2, e_1) = (a_2, e_1)+\lambda_{21}(e_1, e_1)[/mathi]. От там намираме, че
[math]\lambda_{21}=-\frac{(a_2, e_1)}{(e_1,e_1)}[/math]
3) Полагаме [mathi]e_3=a_3+\lambda_{31}e_1+\lambda_{32}e_2[/mathi], такова че [mathi](e_3, e_1)=0[/mathi] и [mathi](e_3, e_2)=0[/mathi], от които равенства намираме търсените [mathi]\lambda_{31}[/mathi] и [mathi]\lambda_{32}[/mathi].
4) Продължаваме аналогично за всеки вектор [mathi]e_i = a_i + \lambda_{i1}e_1 + \lambda_{i2}e_2+…+\lambda_{i,i-1}e_{i-1}[/mathi], където
[math]\lambda_{ij}=-\frac{(a_i, e_j)}{(e_j,e_j)}[/math]
5) Намерените вектори [mathi]e_1, …, e_n[/mathi] ще образуват ортогонален базис.
Деф. Ще казваме, че векторът [mathi]e=\frac{a}{|a|}[/mathi] е получен чрез нормиране. Неговата дължина е равна на 1.
Деф. Ортогонален базис от нормирани вектори ще наричаме ортонормиран базис.
Задача 3. Дадено е четиримерно Евклидово пространство с базис векторите [mathi]a_1(1,1,1,1), a_2(3,1,1,3), a_3(-2,2,4,-4), a_4(1,3,-3,3)[/mathi] и скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi].
a) Намерете ортогонален базис по метода на Грам-Шмид
Решение: Взимаме [mathi]e_1=a_1=(1,1,1,1)[/mathi]
Полагаме [mathi]e_2=a_2+\lambda_{21}e_1[/mathi], където [mathi]\lambda_{21}=-\frac{a_2, e_1}{e_1, e_1}[/mathi]. Намираме:
[math](a_2, e_1) = \left((3,1,1,3),(1,1,1,1)\right)=3.1+1.1+1.1+3.1 = 8[/math]
[math](e_1, e_1)=\left((1,1,1,1),(1,1,1,1) \right) = 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 =4[/math]
От тук следва, че [mathi]\lambda_{21}=-2[/mathi], откъдето намираме
[math]e_2=a_2-2a_1 = (3,1,1,3)-2(1,1,1,1)=(1,-1,-1,1)[/math]
Полагаме [mathi]e_3=a_3+\lambda_{31}e_1 + \lambda_{32}e_2[/mathi], където имаме
[math]\lambda_{31}=-\frac{(a_3, e_1)}{(e_1,e_1)}=-\frac{0}{4}=0[/math]
[math]\lambda_{32}=-\frac{(a_3, e_2)}{(e_2, e_2)}=-\frac{-12}{4}=3[/math]
и намираме [mathi]e_3=a_3+0.e_1+3.e_2 = (1,-1,1,-1)[/mathi]
Накрая полагаме [mathi]e_4=a_4+\lambda_{41}e_1 + +\lambda_{42}e_2 + +\lambda_{43}e_3[/mathi], където
[math]\lambda_{41}=-\frac{(a_4, e_1)}{(e_1,e_1)}=-\frac{4}{4}=1[/math]
[math]\lambda_{42}=-\frac{(a_4, e_2)}{(e_2,e_2)}=-\frac{4}{4}=1[/math]
[math]\lambda_{43}=-\frac{(a_4, e_3)}{(e_3,e_3)}=-\frac{-8}{4}=2[/math]
и намираме [mathi]e_4=a_4-e_1-e_2+2e_3=…=(1,1,-1,1)[/mathi]
=> намерения ортогонален базис е [mathi]e_1(1,1,1,1), e_2(1,-1,-1,1), e_3(1,-1,1,-1), e_4(1,1,-1,1)[/mathi]
б) Нормирайте намерения в а) базис
Решение: Намираме директно по формулите:
[math]\begin{array}{l} e_1^0=\frac{e_1}{|e_1|}=\frac{e_1}{\sqrt{(e_1,e_1)}}=\frac{(1,1,1,1)}{\sqrt{4}}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ e_2^0=\frac{e_2}{|e_2|}=\frac{e_2}{\sqrt{(e_2,e_2)}}=\frac{(1,-1,-1,1)}{\sqrt{4}}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ e_3^0=\frac{e_3}{|e_3|}=\frac{e_3}{\sqrt{(e_3,e_3)}}=\frac{(1,-1,1,-1)}{\sqrt{4}}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ e_4^0=\frac{e_4}{|e_4|}=\frac{e_4}{\sqrt{(e_4,e_4)}}=\frac{(1,1,-1,-1)}{\sqrt{4}}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) \end{array}[/math]
Тези вектори образуват ортонормиран базис.
Задача 4. Намерете ортонормиран базис на подпространството, което е линейна обвивка на векторите [mathi]a_1(1,2,2,-1), a_2(1,1,-5,3), a_3(3,2,8,-7)[/mathi], ако скаларното произведение е дефинирано като [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi].
Решение: Избираме [mathi]e_1=a_1=(1,2,2,-1)[/mathi]
Полагаме [mathi]e_2=a_2+\lambda_{21}e_1[/mathi] където
[math]\lambda_{21}=-\frac{(a_2,e_1)}{(e_1, e_1)}=-\frac{-10}{10}=1[/math]
=> [mathi]e_2=(1,1,-5,3)+(1,2,2,-1) = (2,3,-3,2)[/mathi]
Полагаме [mathi]e_3=a_3+\lambda_{31}e_1 + \lambda_{32}e_2[/mathi], където
[math]\lambda_{31} =-\frac{(a_3, e_1)}{(e_1, e_1)}=-\frac{30}{10}=-3[/math]
[math]\lambda_{32} =-\frac{(a_3, e_2)}{(e_2, e_2)}=-\frac{-26}{26}=1[/math]
=> [mathi]e_3=(3,2,8,-7)-3(1,2,2,-1)+(2,3,-3,2) = (2,-1,-1,-2)[/mathi]
Търсеният ортонормиран базис ще бъде:
[math]\begin{array}{l} e_1^0=\frac{e_1}{|e_1|}=\frac{(1,2,2,1)}{\sqrt{10}}\\ e_2^0=\frac{e_2}{|e_2|}=\frac{(2,3,-3,2)}{\sqrt{26}}\\ e_3^0=\frac{e_3}{|e_3|}=\frac{(2,-1,-1,-2)}{\sqrt{10}} \end{array}[/math]
Задача 5. Дадено е четиримерно реално линейно пространство със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi]. Намерете ортонормиран базис на ортогоналното допълнение на линейната обвивка на векторите [mathi]a_1(1,1,1,1), a_2(3,3,-1,-1), a_3(1,1,-3,-3)[/mathi]
Решение: Образуваме хомогенна система с дадените вектори и търсим нейна ФСР:
[math]\begin{pmatrix} (1) & 1 & 1 & 1\\ 3 & 3 & -1 & -1\\ 1 & 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -4 & -4\\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]
=> общото решение е [mathi](-p, p, -q, q)[/mathi] и нейна фундаментална система от решения са векторите [mathi]b_1(-1,1,0,0), b_2(0,0,-1,1)[/mathi].
Тези два вектора са ортогонални, понеже [mathi](b_1, b_2)=0[/mathi]. Търсеният базис ще бъде получен след като нормираме тези два вектора:
[math]\begin{array}{l} e_1=\frac{b_1}{|b_1|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 ,0 \right )\\ e_2=\frac{b_2}{|b_2|}=\left(0,0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right ) \end{array}[/math]
Задача 6. Дадено е четиримерно реално линейно пространство със скаларно произведение [mathi](x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4[/mathi]. Допълнете системата от вектори [mathi]a_1(1,1,1,1), a_2(2,2,-2,-2)[/mathi] до ортогонален базис.
Решение: Първо правим проверка дали [mathi](a_1, a_2)=0[/mathi]:
[math]\left( (1,1,1,1), (2,2,-2,-2) \right)=2+2-2-2 = 0[/math]
Търсим такива [mathi]a_3(x_1,x_2,x_3,x_4), a_4(y_1, y_2, y_3, y_4)[/mathi], че четирите вектора да са ортогонални помежду си. Нека започнем с [mathi]a_3[/mathi]. Той трябва да е едновременно ортогонален на [mathi]a_1[/mathi] и [mathi]a_2[/mathi], тоест:
[math]\left|\begin{array}{l} (a_3,a_1)=0\\ (a_3,a_2)=0 \end{array}\right.[/math]
Това е хомогенна система с две уравнения и четири неизвестни:
[math]\left|\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ 2x_1+2x_2-2x_3-2x_4=0 \end{array}\right.[/math]
Нейна фундаментална система решения са векторите [mathi]b_1(-1,-1,0,0), b_2(0,0,-1,1)[/mathi].
Всеки от тези два вектора е ортогонален на [mathi]a_1,a_2[/mathi] (проверете). Избираме един от тях като трети вектор от търсения ортогонален базис, например [mathi]a_3=b_1=(-1,-1,0,0)[/mathi].
За четвъртия вектор постъпваме аналогично. Съставяме системата:
[math]\left|\begin{array}{l} (a_4,a_1)=0\\ (a_4,a_2)=0\\ (a_4,a_3)=0 \end{array}\right.[/math]
Това е хомогенна система с три уравнения и четири неизвестни:
[math]\left| \begin{array}{l} y_1+y_2+y_3+y_4=0\\ 2y_1+2y_2-2y_3-2y_4=0\\ -y_1+y_2=0 \end{array} \right.[/math]
Решаваме я:
[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & -2\\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\sim…\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]
Общото решение е [mathi](0,0,-p,p)[/mathi], а нейно ФСР е [mathi]b_3(0,0,-1,1)[/mathi].
Този вектор е едновременно ортогонален на [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi], следователно избираме именно него за четвърти базисен вектор [mathi]a_4[/mathi]. По-наблюдателните ще видят, че това е вектора [mathi]b_2[/mathi], който намерихме по-горе. Защо се получава така? Нужно ли беше да решаваме последната система?
Добави коментар