C, PHP, VB, .NET

Понятието „множество“ е сравнително ново за науката „математика“. То се появява доста късно – чак в края на 19 век. Хората обаче са боравели неосъзнато с апарата на множествата още от дълбока древност. Истината е, че ние боравим с множества от обекти непрекъснато в нашето ежедневие.

Деф: Множество наричаме съвкупност от обекти, обединени по техни общи свойства.

Веднага можете да се досетите, че има пряка връзка между понятията и множествата. Само по себе си всяко понятие описва дадено множество. Именно обемът на понятието, което припомняме беше съвкупността от всички обекти от това понятие, е множество. Вече разгледахме тази тема в статията множества от обекти и понятия.

В съвременните учебни програми в училище множествата все още не се разглеждат като самостоятелна и отделна теория. Въпреки това те целенасочено се използват като средство за изучаване на различни понятия. Така можем да говорим не за „изучаване на теория на множествата“, а по-скоро за „теоретико-множествен подход“ в обучението. Това означава, че там където в теоремите и задачите се използват множества – те не се премълчават или скриват, а се използва терминологията пряко въпреки, че теория на множествата не е изучавана. Разчита се на интуицията и пряката връзка с реалния свят. Например:

1. При изучаване на системи уравнения и системи неравенства се търси „сечение на множествата от решенията на уравненията“;
2. При решаване на уравнение от вида f(x).g(x) = 0 казваме, че търсим обединението от решенията на уравненията f(x) = 0 и g(x) = 0;
3. В стереометрията говорим за „сечение на две равнини“, „сечение на равнина с многостен“, и т.н.;
4. В геометрията когато имаме фигура съставена от други по-малки фигури казваме, че тя е обединение на фигурите.

Използването на понятията „множество“, „сечение“ и „обединение“ всъщност е в сферата пропедевтиката – използването им насочва учениците към изучаване на все повече и повече свойства от теорията на множествата. Използването на единна терминология въпреки, че тя самата не е изучена в своята същина, води все пак до единен подход при разглеждането на принципно различни въпроси. В противен случай тези въпроси биха се разглеждали като напълно различни един от друг и учениците няма да виждат общото между тях. Другото изключително предимство на теоретико-множествения подход е налагането на принципа на нагледност.

Тук искаме да отбележим едно изключително важно твърдение от теорията на множествата – т.нар. „антисиметричност“ на релацията „…е подмножество на…“. То е следното:

(A B)^(B A) => A = B

Това се използва изключително често при задачи за доказване. Например ако искате да докажете, че „симетралата е множество от точки равноотдалечени от краищата на отсечката“, то трябва да минете през два етапа. Ако с множеството A означите точките от симетралата, а с B точките равноотдалечени от краищата на отсечката, то трябва да докажете, че:

1. Ако т.XЄA => т.XЄB, т.е. A B;
2. Ако т.XЄB => т.XЄA, т.е. B A.

Доказвайки тези две стъпки ние доказваме, че множеството от точки наречено „симетрала“ съвпада с множеството от „точки равноотдалечени от краищата на отсечката“. Аналогично може да се демонстрира, че същия принцип се използва и при задачите за еквивалентност на уравнения – трябва да се докаже, че всички решения на едното уравнение са решения и на другото и обратно.

Важно е да се отбележи, че теоретико-множествения подход не е свързан само с математиката. Напротив – той се използва изключително често и в другите науки. Това е още един голям плюс при неговата употреба – така се засилват междупредметните връзки и се създава все по-единен „език“ между отделните учебни предмети.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Статия „Множества“ от Wikipedia.