C, PHP, VB, .NET

Детерминантата можем да я разгледаме като една функция. Тя съпоставя на подадена квадратна матрица с числа – едно точно определено число . Детерминантите ще ги използваме по-нататък при решаването на някои задачи – например при решението на системи от линейни уравнения, при намирането на собствени стойности и т.н. Те имат повече теоретично, отколкото практическо значение – обикновено има по-бързи и по-ефективни методи за решението на задачите, понеже за намирането на детерминанта сама по себе си се извършват множество изчисления. Въпреки това те са полезни най-малкото заради развиването на теоретичното мислене. В тази статия, както и в предишните, се спираме само на изчислителната част – конкретни задачи, – а не на теорията, която стои зад тях.

По-надолу на места ще използваме следните три основни свойства на детерминантите (като най-често ще използваме първото):
– Ако един ред от матрицата се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.
– Ако се разменят местата на два реда на матрицата, детерминантата ѝ мени знака си.
– Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото число.

1. Детерминанти от ред 2х2:

а) Пресмятане „на кръст“: При този метод умножаваме двата елемента по главния диагонал и от тях изваждаме произведението на елементите от втория диагонал:

[math]\left|\begin{array}{rr}a&b\\c&d\end{array}\right| = a.d – b.c[/math]

Например:

[math]\left|\begin{array}{rr}2&-1\\3&-2\end{array}\right| = 2.(-2) – (-1).3 = -1[/math]

б) Привеждане в триъгълен вид: Чрез елементарното преобразувание „умножаване на ред с число и прибавяне към друг ред“ се стремите да направите едно от числата в детерминантата равно на нула. Например:

[math]\left|\begin{array}{rr}(1)&-2\\2&4\end{array}\right|[/math]

Избираме например елемент с индекс (1,1) и преценяваме с какво число трябва да го умножим така, че ако го съберем с елемент (2,1) ще се получи 0. В случая елемент (1,1) e 1, а елемент (2,1) е 2, т.е. числото е -2.

Следователно умножаваме първи ред с -2 и го прибавяме към втори ред:

[math]\left|\begin{array}{ccc}1& &-2\\1.(-2)+2& &(-2).(-2)+4\end{array}\right| = \left|\begin{array}{rr}1&-2\\0&8\end{array}\right|[/math]

Получената детерминанта е в триъгълен вид (има само нули под главния диагонал), следователно тя е равна на произведението на елементите по главния диагонал:

[math]\left|\begin{array}{rr}1&-2\\0&8\end{array}\right| = 1.8 = 8[/math]

2. Детерминанти от ред 3х3:

а) Метод на Сарус: Този метод се използва САМО при детерминанти от ред 3х3. Добавяте допълнителни трети и четвърти стълб със стойности елементите на съответно първи и втори стълб. След това умножавате елементите по трите наклонени надясно диагонала, събирате ги и от тях изваждате сбора на трите наклонени наляво диагонала:

[math]\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}a& &b& &c &|&a & &b\\&\searrow&&\searrow&&\searrow&&&\\d& &e& &f &|&d & &e\\&&&\searrow&&\searrow&&\searrow&\\g& &h& &i&|&g & &h\end{array}\right\} – \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}a& &b& &c&|&a& &b\\&&&\swarrow&&\swarrow&&\swarrow&\\d& &e& &f&|&d & &e\\&\swarrow&&\swarrow&&\swarrow&&&\\g& &h& &i&|&g & &h\end{array}\right\} =[/math]

[math]= (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)[/math]

Пример: Ако имате да пресметнете детерминантата:

[math]\left|\begin{array}{rrr}2&1&4\\1&0&2\\4&3&5\end{array}\right|[/math]

то по правилото на Сарус ще имаме:

[math]\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}2& &1& &4 &|&2 & &1\\&\searrow&&\searrow&&\searrow&&&\\1& &0& &2 &|&1 & &0\\&&&\searrow&&\searrow&&\searrow&\\4& &3& &5&|&4 & &3\end{array}\right\} – \left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}2& &1& &4&|&2& &1\\&&&\swarrow&&\swarrow&&\swarrow&\\1& &0& &2&|&1 & &0\\&\swarrow&&\swarrow&&\swarrow&&&\\4& &3& &5&|&4& &3\end{array}\right\} =[/math]

[math]= (2.0.5 + 1.2.4 + 4.1.3) – (4.0.4 + 2.2.3 + 1.1.5) = (0+8+12) – (0+12+5) = 20 – 17 = 3[/math]

б) Развиване по ред или стълб: Избирате ред/стълб от детерминантата, по възможност такъв, че в него да участват колкото се може повече елементи с нулева стойност. Детерминантата ще бъде равна на сбора от произведението на елементите от избрания ред с техните адюнгирани количества. Например да развием следната детерминанта по първи стълб:

[math]\left|\begin{array}{rrr}(2)&1&4\\(1)&0&2\\(4)&3&5\end{array}\right| = (-1)^{1+1}.2.\left|\begin{array}{rr}0&2\\3&5\end{array}\right| + (-1)^{2+1}.1.\left|\begin{array}{rr}1&4\\3&5\end{array}\right| + (-1)^{3+1}.4.\left|\begin{array}{rr}1&4\\0&2\end{array}\right| = -12+7+8 = 3[/math]

Тоест с този метод ние сведохме решението на задачата за намиране на детерминанта от ред 3х3 до решаване на три детерминанти от ред 2х2, които се решават по правилата от предишния параграф.

Забележете, че няма значение по кой ред/стълб развиваме – винаги ще се получава един и същи резултат. Най-удобно е да изберем ред/стълб, в който има нула, защото така ще отпадне една детерминанта за решаване в последствие. Например да равием същата детерминанта по втори ред:

[math]\left|\begin{array}{ccc}2&1&4\\(1)&(0)&(2)\\4&3&5\end{array}\right| = (-1)^{2+1}.1.\left|\begin{array}{rr}1&4\\3&5\end{array}\right| + \underbrace{(-1)^{2+2}.0.\left|\begin{array}{rr}2&4\\4&5\end{array}\right|}_{0} + (-1)^{2+3}.2.\left|\begin{array}{rr}2&1\\4&3\end{array}\right| = 7+0-4 = 3[/math]

в) Привеждане в триъгълен вид: Действието е аналогично на представеното с детерминанти 2х2 от предишната точка. Например:

[math]\left|\begin{array}{ccc}2&(1)&4\\1&0&2\\4&3&5\end{array}\right|[/math]

Умножаваме първи ред по -3 и прибавяме към трети ред:

[math]\left|\begin{array}{rcr}2&(1)&4\\1&0&2\\-2&0&-7\end{array}\right|[/math]

Умножаваме втори ред по -2 и прибавяме към първи и умножаваме втори ред по 2 и прибавяме към трети:

[math]\left|\begin{array}{rcr}0&1&0\\(1)&0&2\\0&0&-3\end{array}\right|[/math]

Разменяме местата на първи и втори ред, с което се сменя знака на детерминантата:

[math]-\left|\begin{array}{rcr}1&0&2\\0&1&0\\0&0&-3\end{array}\right|[/math]

Детерминантата вече е в триъгълен вид и решението ѝ се свежда до умножение на елементите по главния диагонал:

[math]-\left|\begin{array}{rcr}1&0&2\\0&1&0\\0&0&-3\end{array}\right| = -(1.1.(-3)) = 3[/math]

3. Детерминанти от по-висок ред

При детерминантите от ред 4х4, 5х5, …, nxn може да се използват само методите „развитие по ред/стълб“ и „привеждане в триъгълен вид“.