* Задачи за упражнение – линейни оператори
Публикувано на 29 май 2019 в раздел Линейна алгебра.
Задача 1. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=e_2+e_3\\a_2=2e_1+e_3\\a_3=e_1+e_2+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=-e_1+e_2+e_3\\\phi(a_2)=b_2=e_1-5e_2-9e_3\\\phi(a_3)=b_3=-e_1-e_2-3e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=e_1+2e_2+e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Задача 2. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=e_1+e_2+e_3\\a_2=e_2\\a_3=e_1+2e_3\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=e_1+e_2+e_3\\\phi(a_2)=b_2=e_2+e_3\\\phi(a_3)=b_3=e_1+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=2e_1+3e_2-e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Задача 3. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=2e_1+e_2+e_3\\a_2=-e_1-e_3\\a_3=e_1+2e_2\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=3e_1+2e_2+3e_3\\\phi(a_2)=b_2=-2e_1-e_2-2e_3\\\phi(a_3)=b_3=e_1+2e_2+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=3e_1-2e_2-3e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Задача 4. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=e_1+e_2+e_3\\a_2=e_2-e_3\\a_3=e_1+2e_2+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=-e_1-e_2-3e_3\\\phi(a_2)=b_2=-3e_1+3e_2+3e_3\\\phi(a_3)=b_3=-3e_1+e_2-e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=e_1+e_2-e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Задача 5. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=e_1\\a_2=e_1+e_2\\a_3=e_1+e_2+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=e_1+e_2+3e_3\\\phi(a_2)=b_2=4e_1+3e_2+10e_3\\\phi(a_3)=b_3=8e_1+6e_2+20e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=5e_1-e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Задача 6. В тримерно линейно пространство [mathi]L[/mathi] с база [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] е дадена базата:
[math]\begin{matrix}a_1=e_2+e_3\\a_2=2e_1+e_3\\a_3=e_1+e_2+e_3\end{matrix}[/math]
Даден е линеен оператор [mathi]\phi[/mathi], който преобразува векторите [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi] в
[math]\begin{matrix}\phi(a_1)=b_1=e_1+3e_2-2e_3\\\phi(a_2)=b_2=e_1+e_3\\\phi(a_3)=b_3=2e_1+3e_2-e_3\end{matrix}[/math]
Даден е и вектор [mathi]x=7e_1+4e_2+6e_3[/mathi]
Намерете:
а) Матрицата на оператора [mathi]\phi[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
б) Координатите на вектора [mathi]x[/mathi] спрямо базата [mathi]e_1,e_2,e_3[/mathi] и спрямо базата [mathi]a_1,a_2,a_3[/mathi]
в) Намерете ядрото [mathi]Ker\phi[/mathi] и образа [mathi]Im\phi[/mathi] на линейния оператор.
Добави коментар