* 0,9999(9) = 1
Публикувано на 31 декември 2008 в раздел Математика.
Вярно ли е, че реалното число 0,9999999… е абсолютно равно на реалното число 1?
Повечето хора инстинктивно казват, че числата са „почти равни“ или че „първото клони към второто“. Истината обаче е, че те са абсолютно равни.
Как се доказва? Интересното е, че има много различни начини. Аз ще ви кажа най-достъпните.
1. Знаете, че реалната права е непрекъсната и има безкрайно много числа. Освен това между всеки две различни числа съществуват безброй много други числа (докажете го). Също така ако две числа са различни, то едното винаги ще бъде по-голямо от другото и в интервала между тях ще съществуват безброй много числа.
Е, кое число е по-голямо – 0,(9) или 1? За което и от двете да предположите вие ще сгрешите. За да бъде по-голямо едно число от друго, то трябва да съществуват безброй много числа между тях. Опитайте се да намерите поне едно, което стои между 0.999999…. и 1. Успяхте ли?
2. Второто доказателство е още по-достъпно от първото:
Разделете числото едно на числото три. Получава се 0,3333…
1/3 = 0,333(3)
Умножете двете страни на това равенство с числото 3:
1/3 = 0,333(3) /*3
=> 3*(1/3) = 3*0,333(3)
=> 1 = 0,999(9)
Намерете и други доказателства. Опитайте се да го формулирате в обобщена теорема.
Задачата няма отговор в сферата на елементарната аритметика. За първото „решение“ , което предлагаш, определението ти за числовата права не съвпада с представите ми за нея. Тя не е просто съвкупност от числа, а от последователни съседни числа, като броя числа между всяка двойка съседни е точно нула. Това е и случаят с горната задача. Това че не откриваме число между 0,(9) и 1 е защото те са съседни. Кое ще е другото съседно число на 1 в такъв случай. Аз бих го написал така: 1,000………1 като дясната единица е в бескайността. Аритметиката не се занимава с безкрайни числа, затова това изписване си чисто моя измислица.
За второто „решение“ на задачата бих те помолил да умножиш 4*0,333(3) и тогава ще ти дам коментар.
Весело посрещане на Нова Година и не взимай нещата много на сериозно :)
Ventsi – много грешиш. Понятие като „съседни числа“ на реалната права НЕ съществува. Между всеки две различни числа съществуват не само едно, а безкрайно много други числа (както съм написал по-горе). Дори в примера ти с със сравнение на „1“ и „1,0000000……0001“, където последната ти единица „е в безкрайността“ отново съществуват безкрайно много „междинни“ числа. Просто никога не можеш да поставиш единицата, защото в момента, в който го направиш (1,0…01), аз веднага ще дам контра пример (1,0…005). Свойствата на безкрайността са такива, че не съществува точно обособена „безкрайна позиция“.
Колкото до умножението, което предложи – отговорът е 1.(3)2. Двойката се намира в безкрайността и също няма определена позиция (тъй като тройките са безкрайно много). Това число не може да бъде записано…
Изобщо въпросът с безкрайността е доста объркващ и винаги поражда добри дискусии :)
На второ четене ще се наложи да „изгладя“ доказателството си, че грешиш:
Между числата 1,(0) и 1,(0)1 стоят безкрайно много числа. Едно от тях е 1,(0)05
Надявам се, че така е по-ясно.
Ето и моето обобщение:
x,y(9) = x,z
където z = y+1. Числата x и y са произволни цели числа.
Има и частен случай на обобщеното ти решение – ако y се състои само от цифри 9, то:
x,y(9) = x+1
Освен това y трябва да е цяло и положително. Ако y < 0, се получава нещо странно :)
Напълно уместен коментар. Формулировката се променя в:
Теорема: Нека x е цяло число, а y е естествено число (цяло, неотрицателно). Ако y има поне една цифра, различна от цифрата 9, то:
x,y(9) = x,z
където z = y+1.
Ако числото y се състои само от цифрите 9, то:
x,y(9) = z
където z = x+1 за x>0 и z = x-1 за x<0
Доказателство - за домашно :)
Tвърдиш, че греша в представите ми за числовата права. Възможно е да си прав. Всъщност никъде не съм виждал определение за тази права и разсъждавах от собствената си камбанария. Ако това, което пишеш е вярно, тогава кажи ми кое е най-близкото число по-голямо от 1.
Относно доказателството ти, че греша. Никъде, в предишния си коментар не правя опит да „фиксирам“ числото 1,0….01. Всъщност това го правиш ти, давайки контра с 1,(0)05. Ако това е една безкрайна дроб, то 1,(0)05=1,(0)5 и това число няма как да стои между 1 и 1,(0)1
Относно умножението 4*0,333(3) идеята ми е, че не не можеш да умножиш 4 с последната тройка в дясно, именно защото тя не е „фиксирана“. За да получиш 1.(3)2 първо трябва да „фиксираш“ последната тройка на 0,333(3) да извършиш умножението и накрая да превърнеш резултата в безкрайна дроб. По същата причина не може да умножаваш 3*0,333(3).
милен 5 клас – не съществува понятие „съседно число“ на реалната права. Нама такова понятие в линейната алгебра.
Напълно подкрепям @Ventsi..
Филипе относно пост номер 3.
Според теб
1,(0)<1,(0)05<1,(0)1
Нега ги изпишем:
1,00000000…. < 1,0000…5 < 1,0000….1
Обаче не е така…
1,(0)05 не е < от 1(0)1 !
Да вземем числото 1,(0)05
1,(0)05=1,(0)5
Сравни сега :
1,(0)5 и 1,(0)1..
Според теб 1 е < от 5 ..Мисля,че изчерпах темата с Vensi и Филип …
Как го правехме ние в училище. Полагаме
х = 0.(9)
10x = 9.(9), вадим двете равенства и получаваме
9x = 9
x = 1
Всъщност като се замисля, същото това нещо стои зад следния виц:
„Компания от безкрайно много математици влиза в един бар. Първият математик си поръчва една бира. Вторият половин бира. Третият една четвърт бира. Четвъртият една осма бира. „Майната ви на всички“ казал барманът, извадил 2 бири и им казал да се оправят“.
Сумата на този безкраен ред е 2. Записано в двоична бройна с-ма, математиците са си поръчали общо 1,(1) бири (едно цяло и едно в период). Е, разглеждайки сумата на безкрайния ред, според вица 1,(1) = 10 (двоична бр. с-ма). Което е абсолютно същото като тази задача – просто сума на безкраен ред. Само дето не може да говориш на 5класник за суми на безкрайни редове, сходимост и т.н.