* Докажете, че…
Публикувано на 13 август 2009 в раздел Математика.
Ето ви един бърз изпит, в който ще видим колко помните от доказателствата по математика. За крайната Ви оценка давам по една единица на задача, като при събрани 7 точки освобождавам от „устен“. Три от задачите са доста лесни, затова „взимането на изпита“ е възможно за всеки. С изключение на последната бонус задача, в която има комплексни числа, всичко е училищна математика. Дали именно простите неща не се оказват най-сложни?
Задача 1: Докажете, че ако a.b = 0, то a и/или b e равно на 0.
Задача 2: Докажете, че произведението на две отрицателни числа е положително число.
Задача 3: Докажете, че ако прибавим единица към произведението на четири последователни числа, то получаваме точен квадрат.
Задача 4: Докажете, че сбора на рационално и ирационално число е ирационално число.
Задача 5: Докажете, че е възможно сбора на две ирационални числа може да бъде рационално число.
Задача 6: Докажете, че простите числа са безкрайно много.
Бонус задача: Намерете грешката в равенството и докажете, че е грешка:
Успех…
П.П. Който не успее да реши задача 1 – въобще да не продължава напред :)
Никакъв проблем нямам да го докажа. Нека разгледаме петте постулата за естествените числа N:
P1. 1 е в N.
P2. Ако x е в N, тогава „наследника на x“ x’ е в N.
P3. Няма x такова, че x’ = 1.
P4. Ако x не е 1, тогава съществува y в N такова, че y’ = x.
P5. Ако S е подмножество на N, 1 е в S, и импликацията (x в S => x’ в S) е вярна, то S = N.
От тези постулати дефинираме събирането рекурсивно:
Деф: Нека a и b са в N. Събиране на a с b бележим с „a+b“ и го дефинираме чрез:
Ако b = 1, тогава дефинираме a + b = a’ (използвайки P1 и P2).
Ако b не е 1, тогава нека c’ = b (като c е в N използвайки P4). Тогава a + b = (a + c)’.
Накрая нека дефинираме числото 2:
Деф: 2 = 1′
Твърдение: 2 е в N
Доказателство: Следва от P1, P2 и дефиницията за 2.
Най-накрая твоята:
Задача 0: Докажете, че 1 + 1 = 2
Доказателство: Нека a и b са в N и a = b = 1. По дефиниция имаме a + b = a’ => 1 + 1 = 1′ => 1 + 1 = 2
Твоята задача е по-трудна. Тези по-горе са сравнително по-лесни :)
Ето как по същия начин мога да докажа, че 1+2 = 3:
1 + 2 = (1 + 1)’ = (1′)’ = (2)’ = 3
Който иска нека продължи да доказва до 100 :)
Задача 0. Докажете, че 1+1=2
Не бях и чувал за петте постулата за естествените числа N.
Нямам думи. Какво ли учат сега децата в училище? Дано да не е това.
Естествено, че не се учи в училище. Това доколкото помня е част от „Линейна Алгебра“ в раздела където се дефинираха различните множества от числа.
Доказателство на задача 1: Знаем че a.b = 0. За „a“ има два варианта – да е равно на нула и да не е равно на нула.
Ако a=0, то задачата е доказана.
Ако a!=0, то делим двете страни на равенството на „a“ (това е коректно, защото то е различно от нула) => a.b/a = 0/a => 1.b = 0 => b = 0
Доказано :)
Звучи като доказване на аксиома. Ето решение на зад2 по логиката от решението на задача 1:
Допускам че има такова х<0, което е произведение на 2 отрицателни числа а<0 и b<0. Ако разделя двете страни на неравенството х х/а>0, но х/а=b<0, следователно допускането ми е грешно.
Mertol – интересно решение, но имам чувството, че „разделянето на неравенството на число по-малко от нула“ само по себе си произлиза в дълбочина от правилото за умножение на две отрицателни числа.
Ето как трябва да се направи:
Можете да го пропуснете, но е редно първо да дефинираме полето на реалните числа R:
(1) Ако x е в R и y е в R, то сбора x + y е в R.
(2) Комутативност: x + y = y + x за x,y в R.
(3) Асоциативност: (x+y)+z = x+(y+z) за x,y,z в R.
(4) Нулевия елемент 0 е такъв, че 0 + x = x за x в R.
(5) За всяко x в R съществува отрицателен елемент -x такъв, че x+(-x)=0 и x.0=0.
(6) Ако x е в R и y е в R, то произведението x.y е в R.
(7) xy = yx за x,y в R.
(8) Асоциативност: (xy)z = x(yz) за x,y,z в R.
(9) В R съществува единичен елемент 1 различен от нулевия 0 такъв, че 1.x = x за x в R.
(10) Ако x е в R и x е различен от 0, то съществува елемент 1/x в R такъв, че x.(1/x) = 1.
(11) x(y+z) = xy + xz за x,y,z в R.
Това са 11те аксиоми на реалните числа. Част от тях използвах в доказателството на задача 1. Ще ги използвам и за задача 2. Надолу продължава същественото решение:
Доказателство на задача 2: Нека вземем две числа a>0 и b>0 в R. Нека произведението им x = a.b. Приемаме за вярно, че това число е положително (по дефиниция a.b е „a пъти сбор на числа b“ и тъй като b>0, то сбора на „a“ на брой положителни числа е също положително число). Значи x>0. Разглеждаме следното равенство:
x = a.b + 0
Знаемем, че (-a).0 = 0
=> x = a.b + (-a).0
Понеже (b)+(-b) = 0, то (-a).0 = (-a).((b)+(-b)):
=> x = (a).(b) + (-a).((b) + (-b)).
=> x = (a).(b) + (-a).(b) + (-a).(-b)
От първите две изваждаме (b) пред скоби:
=> x = (b)((a) + (-a)) + (-a).(-b)
но (a)+(-a) = 0
=> x = (b).0 + (-a).(-b)
но (b).0 = 0
=> x = (-a).(-b)
но ние знаем, че x = a.b
=> a.b = (-a).(-b) = x > 0
=> (-a).(-b) > 0
Но понеже a>0 и b>0, то следва, че -a<0 и -b<0
=> произведението на две отрицателни числа е положително число :)
ами 1.b = 0 => b = 0 не произлиза ли пак от това което доказваме
1.b=0 => b=0 произлиза от аксиома 9, защото според нея 1.b=b
зад5: -sqrt(2)+sqrt(2)=0
Да, това е решението на задача 5 – просто показваме един пример :)
Много простичко, нали?
зад 3:
Имаме n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = n^4+6*n^3+11*n^2+6*n+1 = x^2
при n=0 имаме х=1
при n=1 имаме х=5
при n=2 имаме х=11
при n=3 имаме х=19
при n=4 имаме х=29
Забелязвам че разликата между 2 поредни х расте с по 2 всеки път. Така намирам функцията х(n)=n^2+3*n+1.
(х(n))^2=n^4+6*n^3+11*n^2+6*n+1.
Или просто трябваше да преобразуваш n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = (n^2+3*n+1)^2, т.е. „точен квадрат“ :)
Доказателство на задача 4:
Нека имаме рационално число a и ирационално число b. Нека сбора a+b = c.
Допускаме, че c е рационално число
=> b = c-a
Да, но сбора и разликата на две рационални числа е рационално число (*). Нека c-a = d
=> b = d
но b беше ирационално, а d e рационално => допускането, че c e рационално е грешно!
Доказателство на (*):
Нека имаме две рационални числа a/b и c/d. Техният сбор е:
a/b + c/d = (ad+cb)/bd
Тъй като a и c са цели числа, и b и d са цели положителни числа (от дефиницията за рационални числа), то умноженията ad и cb са цели числа, а bd е цяло положително число. Сборът на две цели числа ad+cb е цяло число => имаме делене на цяло с цяло положително число, т.е. имаме рационално число.
Задача 6 вече е по-сложна. Нея ще я пропусна за края.
Решете бонус задачата де! Тя е лесна :)
Е добре – бонус задача:
sqrt(a.b) не винаги е равно на sqrt(a).sqrt(b)!!! Всъщност е равно само тогава, когато a e равно на 1 или 0 и/или b е равно на 1 или 0.
Ето любимото ми доказателство на задача 6 (от Филип Сайдак, 2005г.):
Нека имаме две последователни числа n и n+1. Ако разгледаме числото n.(n+1), то то има поне два делителя, които са прости числа и са различни.
Нека сега разгледаме двете последователни числа n.(n+1) и n.(n+1)+1. Разглеждаме числото:
[n.(n+1)].[n.(n+1)+1] – то пък има поне три прости делителя (два за първото число и един за второто в умножението), които са различни.
Тази редица може да се продължи до безкрайност => имаме безкрайно много различни прости делители, т.е. имаме безкрайно много различни прости числа…
П.П. Делителите са различни, защото всеки две последователни числа са т.нар. coprime (не знам как се превежда на български) – т.е. само 1 е техния общ делител. Това също може да се докаже сравнително лесно.
Числа, които се делят(кратни са) само на себе си и на 1 се наричат прости числа, т.е. единственият им общ делител е 1! т.е. превода на prime number е просто число :))