* Произведение на прости числа 2
Публикувано на 06 май 2009 в раздел Математика.
В миналата задача Произведение на прости числа дадох лесна задачка, в която трябваше да намерим последната цифра на едно произведение от поредни прости числа. Използваше се основен принцип на умножение по 10 – резултатът винаги завършва на 0. Задачата не затрудни никой, но според мен е доста приятна за упражнение, особено при развиване на евристични способности в деца.
Реших да се опитам да развия задачата още – можем ли да предвидим последните две цифри на произведението (без да умножаваме милиони числа естествено)? Моят скромен анализ показа, че отговорът е по-скоро негативен. Умножавах голямо количество поредни прости числа и не успях да намеря зависимост между получената редица от предпоследни цифри на произведенията (последната вече знаем, че е 0).
Е, постигнах все пак частичен успех – открих, че предпоследната цифра на произведението на първите „n>4“ прости числа e една от множеството на цифрите 1, 3, 7 или 9. С други думи произведението на простите числа винаги завършва на 10, 30, 70 или 90. Оказа се лесно да се докаже защо е така – направете го.
От тук нататък анализа може да продължи в тази посока – опитайте се да извадите множество за „пред-предпоследната“ цифра на умноженията на поредни прости числа. Не знам доколко един такъв анализ би бил полезен, но пък играта с целочислено деление на числа е интересна за тренировка.
П.С. Ако някой все пак успее да изкара формула за редица на последните две цифри от произведението – нека да не се стеснява и да си каже. В поредното умножение на първите 50 прости числа аз не успях да видя никаква периодичност или зависимост от последните две цифри на произведенията. Това всъщност е нормално, тъй като самите прости числа е доказано, че не могат да се наредят в редица :(
Виждам, че никой не се заинтересува от тази задачка :)
Все пак няколко насоки:
– Ако предпоследната цифра е 0, то числото завършва на 00, т.е. то когато го разделим на 2 (едно от числата участващи в произведението) ще бъде четно. Ако бъде четно обаче, то отново ще се дели на 2, тоест в произведението участват две четни числа, а това не може да бъде вярно за простите числа.
– Същото важи за x20, x40, x60 и x80 :)