C, PHP, VB, .NET

Уравненията и неравенствата винаги са вървяли „ръка за ръка“, като може да се каже, че все пак първите предхождат вторите. Това важи и за случаите на ранна пропедевтика. Наистина теорията на уравненията е много близка по стил на изказване на тази на неравенствата и затова неравенствата силно взаимстват от нея.

Изучаването както на уравнения, така и на неравенства започва с далечна пропедевтика още от първи клас. Още тогава след като са се научили да събират числа започват да се появяват и първите уравнения с неизвестно, които се записват в следния вид:

Пример: Попълнете липсващата цифра в квадратчето: 2 + □ = 5

Пропедевтиката на понятията „променлива“ и „корен на уравнение“ в случая е, че казваме на децата, че в квадратчето може да се запише всяка цифра, но само една ще даде вярно решение на задачата.

Също в края на първи клас се появяват и неравенствата. Децата се учат на това да сравняват две числа и да записват съответните знаци „>“, „<“ или „=“ между тях:

Пример: Поставете подходящия знак: 2 + 3 □ 1 + 5

Във началото на втори клас се въвежда т.нар. „буквена символика“. Споменатото по-горе уравнение вече се записва по нов начин.

Пример: С кое от числата 2, 3, 4 и 5 трябва да заместим „a“ така, че да е вярно: 2 + a = 5?

След добро трениране на тези задачи не закъсняват и примерите с неравенства.

Пример: С кои от числата 5, 6, 7, 8 и 9 може да се замести „а“ така, че да е вярно: 3 + a > 9?

По този начин се преминава и към аритметичното правило за решаване на тези уравнения и неравенства. Бавно, но сигурно се достига и до правилото за „прехвърляне на число“ от едната в другата част на уравнение, а после и на неравенство.

В трети и четвърти клас в решаването на уравнения и неравенства се намесват и операциите умножение и деление. Децата отначало се сблъскват със задачите от типа:

Пример: Решете a.4 = 8

Именно в тези класове е важно да се направи и връзката между деление и умножение. Тук целенасочено ще показваме, че 8:a = 4 и a.4 = 8 са две еквивалентни уравнения. Естествено това се пренася и при неравенствата.

Пример: С кои от числата 1, 2, 3 и 4 може да се замести „а“ така, че да е вярно: a.7 > 20

В 5 клас продължава пропедевтиката чрез решаване на уравнения и неравенства с рационални числа. Вече се въвежда понятието „неизвестно“ и на негово място се пише „x“. Решават се първоначално задачи с уравнения:

Пример: Намерете стойността на неизвестното „x“ в уравнението: (2/3).x = 7/12

Учениците явно се научават на правилото за умножение „на кръст“.  Колкото до неравенствата – появяват се задачи от вида:

Пример: За кои цели числа заместени в „x“ е вярно неравенството: 15/3 > x > 2/3

В шести клас се разглеждат почти същите задачи, но с по-сложни сметки. Въвежда се и понятието „по-голямо или равно“, което е и първият сериозен досег на учениците с математическата логика. Така те плавно започват да бъдат въвеждани към понятието „система“ от уравнения/неравенства.

В седми клас може да се каже, че изучената информация се систематизира. Използвайки научно-познавателния метод „обобщение“ учениците за първи път се сблъскват с теореми и теоретични заключения като цяло. Това всъщност са теоремите за еквивалентност на уравнения:

Теорема 1. Ако в уравнението f(x) = g(x) заменим f(x) с тъждествен на него израз p(x) от същото дефиниционно множество, то полученото уравнение е еквивалентно на първото.

В задачи използващи тази теорема обаче е важно строго да се изучи кой израз на кой е тъждествен. За това всъщност учениците дори леко догматично се заучават да пишат т.нар. „дефиниционни множества“. Те трябва да разберат, че изразите (x+3) и (x+3)(x-1)/(x-1) не са тъждествени, защото са от различни дефиниционни множества.

Теорема 2. Ако в уравнението f(x) = g(x)  добавим един и същи израз p(x) (от същото дефиниционно множество) от двете страни на равенството, то полученото уравнение е еквивалентно на първото. Тоест f(x) = g(x) <=> f(x) + p(x) = g(x) + p(x)

Може би няма нужда да споменаваме, че това е и една от най-важните теореми. Именно чрез нея и нейните следствия се решават най-много от уравненията. Най-често използвано естествено е следствието й, че „можем да прехвърлим число от едната страна на уравнение в другата, но с обратен знак“. Не по-малко важна обаче е и:

Теорема 3: Ако умножим двете страни на уравнението f(x) = g(x) с p(x) от тяхното дефиниционно множество, то полученото уравнение е еквивалентно на първото, т.е. f(x) = g(x) <=> f(x).p(x) = g(x).p(x).

След като тези три основни теореми бъдат изучени, то се преминава и към въвеждането на сходни техни теореми, но в задачите за неравенства. Именно този преход е много подходящ, защото теоремите сами по себе си си приличат:

Теорема 4: Ако в неравенство един израз се замени с еквивалентен на него, то неравенството не се променя.

Ясно е, че тази теорема е напълно същата като теорема 1. По-нататък правим аналогия и с прехвърлянето на числа от едната в другата страна на уравнение, но този път с неравенство:

Теорема 5: Ако прехвърлим число от едната в другата страна на неравенството, но с обратен знак, то се получава еквивалентно неравенство.

Последната теорема за уравнения обаче се разделя на две части, когато се показва нейния аналог при неравенствата. Именно това е трудно за усвояване от учениците и следва да се затвърди чрез по-голямо количество примери:

Теорема 6: Ако умножим двете страни на неравенство с положително число, то неравенството не се променя.

Теорема 6′: Ако умножим двете страни на неравенство с отрицателно число, то неравенството променя знака си.

В малко по-късен етап същите две теореми се прилагат не само с числа, а с цели изрази p(x)>0 или p(x)<0. В средата на 7ми клас се мотивира понятието „параметрично уравнение“. Това е сериозна стъпка, която води до значителни проблеми в решаването на задачи. Обикновено учениците имат проблем с изясняването на разликата между „параметър“ и „неизвестно“. Удачно е да постъпим по следния начин:

Пример: Решете уравненията:

a) 5.x + 10 = 100

б) 5.x + 20 = 100

в) 5.x + 50 = 100

г) 5.x + b.x = 100

д) (5 + b).x = 100

Плавното преминаване към понятието параметър е желано и до известна степен естествен ход на изучаването му. Обикновено се ограничаваме до решаването на уравнения от вида a.x = b. Важно е обаче постепенно да мотивираме и т.нар. „изследване“ на параметрите на уравнението. За целта се дискутира групово какво е решението на задачи като 0.x = b, a.x = 0 и 0.x = 0. След решаване на няколко подобни задачи знанията се систематизират. Така обобщаваме, че решението на уравненията a.x=b е:

1. x = b/a при b!=0;
2. Всяко x при a=0 и b=0;
3. Няма решение при a=0 и b!=0.

Много е важно да се подчертае, че изследването се прави преди решението на уравнението. Много често се среща грешката при учители, които първо показват, че x = b/a, а чак след това правят „изследване“. Това е грешен подход, който обърква логиката на решение и учениците се научават на неправилен подход при решаването на параметрични задачи. След тази стъпка се разглеждат и решенията на неравенствата a.x > b и a.x < b. Отново се набляга на изследването на параметрите преди даването на решение.

По-нататък се продължава с неравенства от типа a.x + b > 0 и a.x + b < 0. По естествен път следват уравнения от вида a.x + b = c и неравенства a.x + b > c и a.x + b < c.  При тези задачи се следва същия подход, както в предишните.

След това се преминава и към модулни параметрични уравнения и неравенства. Това са задачи от типа:

Пример: Решете уравнението: |a.x + 2| = 10.

Тук явно мотивираме понятието „система“, която всъщност е конюнкция от две уравнения. Отново се прави т.нар. „изследване“ при кои стойности на a модулът е отрицателен и при кои положителен. Същото нещо се прилага и при неравенства:

Пример: Решете неравенството: |a.x + 2| ≥ 10.

Целесъобразно е в края на 7ми клас да се направи пропедефтика към много известните „квадратни уравнения“. За целта се решават множество задачи от типа:

Пример: Решете уравнението: (2.x + 3).(3.x – 2) = 0

Отново учениците се учат да правят системи, защото решението е, че или (2.x + 3) = 0 или (3.x – 2) = 0. За неравенства от този тип обаче все още е рано.

В 8ми клас се пристъпва към целенасочено изучаване на квадратни уравнения. За целта се прави пропедефтика за извеждане на формулата за дискриминанта и намиране на корените. Решават се последователно задачи като:

Пример: Решете уравнението:

a) x² – 4 = 0 (използва се формула за съкратено умножение a² – b² = (a – b).(a + b));

б) (x² – 3)² – 4 = 0 (отново се използва същата формула, но в случая a = x² – 1);

в) x² – 6x + 5 = 0 (това уравнение може да се сведе до горното);

г) 2x² – 12x + 10 = 0 (това уравнение може да се сведе до горното).

С примери подобни на последния ние трябва да мотивираме учениците да се научат сами да „допълват до точен квадрат“. След последователно решение на редица задачи можем да обобщим и формулата:

a.x² + b.x + c = 0 <=> a.(x² + (b/a).x + c/a) = 0

<=> a.(x² + (2b/2a).x + b²/(2a)² – b²/(2a)² + c/a) =0

<=> (x + b/2a)^{2 – (}b² – 4ac)/(2a)² = 0

От тук вече дефинираме понятието дискриминанта D = b² – 4ac и изразяваме уравнението така, че да се използва формулата за съкратено умножение. Следва изследване за решението на уравнението. След няколко последователни задачи, в които се тренират стъпките от доказателството на теоремата – заучаваме учениците да следват решенията на квадратни уравнения по алгоритъм.

След изучаването на квадратно уравнение следва въвеждането на квадратно неравенство. Използват се основно формулите при задачи в които D≥0, че:

a.x² + b.x + c > 0 <=> a.(x – x₁).(x – x₂) > 0

a.x² + b.x + c < 0 <=> a.(x – x₁).(x – x₂) < 0

Нужно е да се решат множество задачи в които x₁ и x₂ са с еднакви и различни знаци. Едва след като тези задачи са утвърдени добре – въвеждаме и задачите, в които D<0. Там изследването е сложно за учениците и затова много от тях заучават решението догматично. Оказва се преди това наученото от уравненията, че a.x² + b.x + c = 0 няма (реално) решение при D < 0 влиза в погрешен конфликт с факта, че a.x² + b.x + c > 0, a > 0 и D < 0 има решение „всяко x“. За a.x² + b.x + c < 0 и D < 0  се показва, че няма решение. Случаите с a < 0 се свеждат до другите като двете страни на неравенството се умножават с числото -1.

Забележете нещо много важно – едва след аналитичните решавания на квадратни неравенства чрез изследване се въвежда и така популярния „метод на интервалите“. Основна грешка е да го въвеждаме догматично без обосновка. Учениците трябва в един вид сами да го преоткрият като алгоритъм за решаване на неравенства. Графичното решаване на неравенства се въвежда едва накрая, като елемент за развиване на евристични способности в учениците.

Точно на този етап (в края на 8ми клас) можем да кажем спокойно, че учениците вече са запознати с теорията на уравнения и неравенства. От тук нататък е значително по-лесно надграждането с по-сложни задачи в по-горни класове. Естествено следват биквадратните уравнения (свеждащи се до квадратни). След като сме развили евристичните способности на учениците достатъчно можем да започнем да решаваме спокойно ирационални, показателни, логаритмични и тригонометрични уравнения и неравенства. Естествено всяка една от тези групи върви в последствие на изучени съответни знания. Специфична методика при тях има, но не е основна. В общи линии учениците, които имат вече добре изградена основа нямат проблеми с усвояването на материала.