C, PHP, VB, .NET

Дневникът на Филип Петров


* Матрични уравнения

Публикувано на 18 юли 2014 в раздел Линейна алгебра.

Темата е продължение и до известна степен обобщение на всичко свързано с матрици и операции с матрици. Решаването на матрични уравнения изисква познаването на темата за обратни матрици.

Твърдение 1. Нека са дадени матрици A и B. Търсим матрица X от уравнението AX=B. Матрицата се намира чрез умножение на обратната матрица на A и B: X=A-1B.

Следствие: Може да забележите, че намирането на обратна матрица е частен случай на матрично уравнение. Нека е дадена матрицата A. Нека X е търсената обратна матрица. От свойствата за обратна матрица знаем, че A.X=E. От тук по формулата от твърдение 1 ще имаме X=A-1E=A-1

Твърдение 2. Нека са дадени матрици A и B. Търсим матрица X от уравнението XA=B. Тогава X=BA-1

Твърдение 3. От уравнението XA=B => At.Xt=Bt

Задача 1. Намерете матрицата X от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} -1 &2 &0 \\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 1 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Решение (първи начин): Намираме обратната матрица на матрицата от ляво на X:

[math]\begin{pmatrix} -1 &2 &0 \\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix}[/math]

И намираме X от формулата в твърдение 1:

[math]X = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 1 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & -2 & 3 & -4\\ -2 & 0 & 2 & -1\\ 11 & 5 & -9 & 12 \end{pmatrix}[/math]

Решение (втори начин): Прилагаме метода на Гаус-Жордан:

[math]\left(\begin{matrix} -1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 0 & (1) \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 1 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/math]

[math]\left(\begin{matrix} -1 & 2 & 0\\ -1 & (1) & 0\\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} -1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/math]

[math]\left(\begin{matrix} (1) & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} -3 & -2 & 3 & -4\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)[/math]

[math]\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix} -3 & -2 & 3 & -4\\ -2 & 0 & 2 & -2\\ 11 & 5 & -9 & 12 \end{matrix}\right)[/math]

Получената от дясно матрица е търсената:

[math]X = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 3 & -4\\ -2 & 0 & 2 & -1\\ 11 & 5 & -9 & 12 \end{pmatrix}[/math]

Задача 2. Намерете X от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\ 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} 9 & 7 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ 18 & 12 & 9\\ 23 & 15 & 11 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Правим следното полагане:

[math]Y = X\begin{pmatrix} 9 & 7 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Следователно трябва първоначално да решим следното уравнение:

[math]\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\ 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3 \end{pmatrix}Y=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ 18 & 12 & 9\\ 23 & 15 & 11 \end{pmatrix}[/math]

По един от двата метода намираме Y.:

[math]Y = \begin{pmatrix} 11 & 9 & 9\\ 14 & 12 & 18\\ 22 & 18 & 19 \end{pmatrix}[/math]

Връщаме се към полагането и достигаме до следното уравнение:

[math]X\begin{pmatrix} 9 & 7 & 6\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 9 & 9\\ 14 & 12 & 18\\ 22 & 18 & 19 \end{pmatrix}[/math]

От тук можете да решите уравнението чрез формулата от твърдение 2.

Възможно е да решите уравнението и по метода на Гаус-Жордан. Прилагаме формулата от твърдение 3:

[math]\begin{pmatrix} 9 & 1 & 1\\ 7 & 1 & 1\\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}X^{t}=\begin{pmatrix} 11 & 14 & 22\\ 9 & 12 &18 \\ 9 & 18 & 19 \end{pmatrix}[/math]

От тук ще намерите (Xt)-1. От свойствата на обратните матрици следва, че (Xt)-1 = (X-1)t. Тоест остава само да транспонирате получената матрица и получавате търсения отговор.

Задача 3. Намерете матрицата X от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 3 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Да започнем да решаваме задачата по метода на Гаус-Жордан:

[math]\left(\begin{matrix}(1)&1\\2&2 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}2&3\\2&3 \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix}(1)&1\\0&0 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}2&3\\0&0 \end{matrix}\right)[/math]

Достигнахме до проблем – нямаме елемент, който да изберем, за да продължим. Следователно няма да е възможно да приведем лявата матрица до единична.

Това се получи така, понеже лявата матрица няма обратна. Действително [mathi]\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0[/mathi], от което следва, че не съществува обратна матрица.

Подобни задачи се решават по следния начин: приемаме, че [mathi]X=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}[/mathi]. Търсим неизвестните a,b,c и d от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Извършваме множението на матриците в лявата част на равенството, от което получаваме:

[math]\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

От където намираме:

[math]\left|\begin{matrix}a+c=2\\b+d=3 \end{matrix}\right.[/math]

Това са две уравнения с четири неизвестни. Изразяваме c и d чрез a и b:

[math]\left|\begin{matrix}c=2-1\\d=3-b \end{matrix}\right.[/math]

Търсената матрица е:

[math]X=\begin{pmatrix} a & b\\ 2-a & 3-b \end{pmatrix}[/math]

където a и b са произволни числа.

Задача 4. Намерете матрицата X от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Прилагаме метода от предишната задача:

[math]\left(\begin{matrix}(1)&1\\1&1 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}1&2\\3&4 \end{matrix}\right)\sim \left(\begin{matrix}1&1\\0&0 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}1&2\\2&2 \end{matrix}\right)[/math]

Приемаме, че матрицата [mathi]X=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}[/mathi]. Търсим неизвестните a,b,c и d от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}[/math]

Извършваме умножението в лявата част на равенството:

[math]\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}[/math]

Това равенство никога не може да бъде изпълнено, понеже 2 не е равно на 0 (от последния ред). С това заключваме, че задачата няма решение.

Задача 5. Намерете матрицата X от уравнението:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Решение: Полагаме

[math]Y = X\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Получаваме равенството:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}Y=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

По метода от задача 3 намираме:

[math]Y=\begin{pmatrix} a & b\\ 1-a & 1-b \end{pmatrix}[/math]

където a и b са произволни числа. Връщаме се към полагането:

[math]\begin{pmatrix} a & b\\ 1-a & 1-b \end{pmatrix}=X\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

=>

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}X^{t}=\begin{pmatrix} a & 1-a\\ b & 1-b \end{pmatrix}[/math]

Решаваме това уравнение по метода на Гаус-Жордан:

[math]\left(\begin{matrix}(1)&1\\1&1 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}a&1-a\\b&1-b \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix}(1)&1\\0&0 \end{matrix} \right |\left.\begin{matrix}a&1-a\\b-a&a-b \end{matrix} \right)[/math]

Търсим [mathi]X^t=\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}[/mathi] от равенството:

[math]\begin{pmatrix}1&1\\0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&1-a\\b-a&a-b \end{pmatrix}[/math]

Извършваме умножението в лявата част:

[math]\begin{pmatrix} p+r & q+s\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&1-a\\b-a&a-b \end{pmatrix}[/math]

Получаваме системата:

[math]\left|\begin{matrix}p+r=a\\q+s=1-a\\0=b-a\\0=a-b\end{matrix}\right.[/math]

От трето и четвърто уравнение виждаме, че задачата ще има решение само ако b=a. От първите две уравнения изрязяваме:

[math]\left|\begin{matrix}p=a-r\\s=1-a-q\end{matrix}\right.[/math]

Откъдето:

[math]X^{t}=\begin{pmatrix} a-r & q\\ r & 1-a-q \end{pmatrix}[/math]

И така получения отговор на задачата ще бъде:

а) При a=b:

[math]X=\begin{pmatrix} a-r &r\\ q& 1-a-q \end{pmatrix}[/math]

за a, r, q произволни числа

б) Няма решение при a различно от b

 



Добави коментар

Адресът на електронната поща няма да се публикува


*