* Квадратични форми – задачи за упражнение
Публикувано на 20 октомври 2019 в раздел Линейна алгебра.
Задача 1. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + 3(x2)2 + 5(x3)2 + 2x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3
Задача 2. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + (x2)2 + 3(x3)2 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 6(x1)2 + 5(x2)2 + 7(x3)2 - 4x1x2 + 4x1x3
Задача 3. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 - 2(x2)2 + (x3)2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 11(x1)2 + 5(x2)2 + 2(x3)2 + 16x1x2 + 4x1x3 - 20x2x3
Задача 4. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + 2(x2)2 + 5(x3)2 + 2x1x2 + 4x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + (x2)2 + 5(x3)2 - 6x1x2 - 2x1x3 + 2x2x3
Задача 5. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + 5(x2)2 - 4(x3)2 + 2x1x2 - x1x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 17(x1)2 + 14(x2)2 + 14(x3)2 - 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2x3
Задача 6. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 - 3(x3)2 - 2x1x2 + 2x1x3 - 6x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 - 5(x2)2 + (x3)2 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3
Задача 7. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + 4(x2)2 + 13(x3)2 + 2x1x2 - 2x1x3 - 14x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 8(x1)2 - 7(x2)2 + 8(x3)2 + 8x1x2 - 2x1x3 + 8x2x3
Задача 8. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 2(x1)2 + 3(x2)2 + 4(x3)2 - 2x1x2 + 4x1x3 - 3x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3,x4) = 2x1x2 - 6x1x3 - 6x2x4 + 2x3x4
Задача 9. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 4(x1)2 - 3(x2)2 + 4(x3)2 + 4x1x2 + 8x1x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 3(x1)2 + 3(x2)2 - 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3
Задача 10. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = -5(x1)2 - 4(x2)2 - 4(x3)2 + 8x1x2 - 4x1x3 + 8x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 - 5(x2)2 + (x3)2 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3
Задача 11. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3,x4) = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3
Задача 12. а) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез групиране, намерете матрицата ѝ преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = (x1)2 + 4(x3)3 + 4x1x2 + 6x1x3 + 4x2x3
б) Приведете квадратичната форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация. Намерете матриците на формата преди и след канонизирането и намерете матрицата на преобразуванието:
f(x1,x2,x3) = 4(x1)2 - 3(x2)2 + 4(x3)3 + 4x1x2 - 4x1x3 + 8x2x3
Добави коментар