* Парадоксът на Браес
Публикувано на 16 януари 2014 в раздел Математика.
Миналата година се проведе голям ремонт на кръстовището на телевизионната кула в София. После започна и строежа на метрото в Младост и (вкл. към днешна) е затворена голяма част бул. Александър Малинов. От скоро се прави и ремонт на кръстовището на Семинарията. И при трите примера имаме един и същи казус – затворени са части от пътните платна, с което в дадения район е затруднен трафика. Аз често минавам през въпросните места и забелязах нещо много интересно – и в трите случая се получи така, че времето ми за преминаване през въпросните участъци всъщност се намали драстично спрямо това, което беше преди започването на ремонта! Специално за кръстовището на Семинарията – преди да започне ремонта ми се налагаше да чакам по 10-15 минути, за да премина, а в момента – почти винаги съм най-отпред на светофара (важи за направлението Лозенец-Данабад и обратно, а не по алея Яворов – там е видимо по-зле положението). По същият начин аз в момента успявам много бързо да се придвижа от Бизнес центъра до Дружба (използвайки обходния маршрут през Младост 3), отколкото преди когато откъдето и да подхвана – все беше голямо задръстване. А колкото до ТВ кулата – по време на ремонта на кръстовището аз преминавах през него значително по-улеснено, отколкото сега (без въобще да оспорвам, че сега – с кръгово движение, е в пъти по-добре, отколкото преди – със светофар).
Не мога да твърдя, че парадокса на Браес е „виновен“ точно в тези конкретни случаи. По-скоро хората целенасочено избягват тези места, от което се натоварват другите – обходни маршрути – и системата като цяло е логично по-натоварена по време на ремонти. Изследването на пътния трафик като комплексна система не е проста задача и изисква огромно количество статистическа информация, проби и тестове. Например много хоря се жалват от прекалено бързото/бавното превключване на даден светофар, но рядко се замислят какъв би бил ефекта от „оправянето“ на този светофар отнесено към другите кръстовища. Но все пак: като споменах парадокса на Браес, защо пък да не го обясня с най-простия му класически пример?
Парадоксът на Браес се получава тогава, когато при добавяне на допълнителни маршрути (път за шофьорите, мрежови канал при компютрите, и т.н.) се получава влошаване на ситуацията, вместо нейното подобрение. Нека имаме два възможни маршрута от т.А до т.Г, както е показано на графиката:
Пътища – сценарий 1
В отсечките А-Б и В-Г имаме зависимост, че пропускливостта намалява според броя автомобили по трасето. Ако например имаме 100 автомобила, те ще преминават за 1 минута. Ако има 1000 автомобила, вече ще им бъдат нужни 10 минути. И т.н. Не е съвсем практично, но за целите на математиката го приемаме в този доста груб вид. По другите отсечки – А-В и Б-Г – времето е фиксирано от 45 минути, независимо от броя автомобили на пътя. Представете си А-В и Б-Г като огромни, но мноооого рабити булеварди, по които колите се тътрят по принуда от пътя, а не заради задръстване, а пътищата А-Б и В-Г са много кратки и свръх бързи (клонящо към безкрайност), но съществува нещо като пропусквателен пункт, който е с фиксиран капацитет 0,01 минута на всеки един автомобил.
Съвсем очевидно е, че двата пътя – А-Б-Г и А-В-Г – са напълно равностойни. Тоест ако шофьорите слушат информацията по радиото за пътния трафик, те очевидно биха избирали да стартират по този маршрут, по който има по-малко автомобили, защото той ще е и по-бърз за самите тях. Или в крайна сметка трафика ще се разделя винаги на две равни части по два напълно равностойни маршрута, т.е. ще имаме оптималност за системата като цяло.
По късно, с цел търсене на оптимизация на пътния трафик, бил построен кратък суперскоростен път между точки Б и В. Толкова кратък и бърз, че времето за преминаване по него приемаме, че клони към 0 (пак не е практично, но какво пък), при това независимо колко автомобила има на него. Тоест графиката става следната:
Пътища – сцераний 2: наличие на „shortcut“
И сега парадоксът идва налице. Нека хипотетично имаме 4000 автомобила, които желаят да преминат от А до Г. За улеснение – тръгват едновременно (пак не е практично, но нали вече ни стана навик да пренебрегваме практиката, за да си улесняваме примера).
1 случай – НЯМА връзка Б-В) В този случай, както казахме, шофьорите биха се разпределили равномерно по двата пътя, т.е. те биха се разпределили по 2000 автомобила на маршрут. В този случай преминаването на автомобилите би отнело 45 + 2000/100 = 65 минути.
2 случай – връзката Б-В съществува) Шофьорите тръгват от т.А и веднага ще могат да преценят, че преминаването по отсечка А-В е безпредметно – то отнема фиксирани 45 минути, а отсечка А-Б би им отнела 4000/100 = 40 минути (в най-лошия случай!), т.е. ще бъде поне с 5 минути по-бързо. В случая те нямат нужда да гледат на по-следващите отсечки, защото тъй или иначе има суперскоростната връзка, с която те винаги могат да си променят маршрута в алтернативния. Така в крайна сметка всички автомобили ще поемат по А-Б. След това, намирайки се в т.Б, те могат да направят същото съображение – преминаването Б-Г им отнема 45 минути, докато Б-В-Г ще им отнеме 0 + 40 = 40 минути. Тоест всички шофьори в крайна сметка биха избрали маршрут А-Б-В-Г, който общо отнема… 80 минути.
Вижда се, че в този случай добавянето на нов безкрайно бърз път в графа на маршрутите всъщност доведе до потенциално влошаване на ситуацията и както беше показано в частния случай – автомобилите преминаха трасето с 15 минути по-бавно. Това е и парадоксът на Браес.
Като демонстрация на парадокса в историята са се срещали именно примери с пътния трафик. Например затварянето на 42 улица в Ню Йорк през 1990г. е показала значително намаляване на задръстванията в района като цяло. Някои могат да отнесат това към парадокса на Браес, други естествено ще спорят. От математическа гледна точка обаче се вижда един основен и важен извод – спазването на принципът „намиране на оптималния за мен път“, от гледната точка на всеки отделен участник, не винаги гарантира оптималност за общата система от всички участници! Това може да бъде отнесено и като критика към теорията на анархията – търсенето на лично благоденствие за всеки човек поотделно не е ясно дали ще доведе до благоденствие за обществото като цяло.
Не съм съгласен с извода. Той е по-скоро изключение – „парадокс“ се получава само за определени количеста автомобили – в конкретния случай 3500-4500. Постановката е много симплифицирана за да могат на нейна база да се правят общовалидни изводи, особенно като „ни стане навик да пренебрегваме практиката“. „Търсенето на лично благоденствие“ не е панацея, но работи много добре в природата. Дори да има ситуации в които може да доведе до негативни резултати, нямаме нищо по-добро.
Примери от природата има колкото искаш – пчелните кошери, мравуняците, всички стада от тревопасни – все карат на принципа „благото на обществото е на първо място, а личното даже може да се жертва при нужда“. Те също се справят добре.
Но пък от друга страна човекът е хищник :) :) :) И да, на този етап именно американската философия за търсене на личното благо засега е довела до привидно най-добър резултат. Аз просто споря с оптималността му, не отричам, че е добър модел.
Консултирайте се с катедра „Пътища“ от УАСГ. В тази задача-парадокс има три вида пътя: нула, константа и константа по автомобили. Ако примерно нулата се замени с минус 10, или се заложи експоненциален закон може да се родят и още парадокси.
В реалността ако хората са информирани, че в даден район има проблем, те го избягват поне с колите и има облекчаване.
В примера хората хем са информирани със законите, хем не могат да се съобразят и изведнъж ставало по-лошо. Разгледайте какво ще стане ако за наличието на шорткъта хората разбират поетапно, примерно по 100/ден (по 50 от всеки клон) и започват да го ползват и следят промяната всеки ден и как ще се стигне до деня, в който ще спрат да се пренасочват по шорткъта.