C, PHP, VB, .NET

Функцията като понятие се е формирала постепенно. Още от древни времена неосъзнато са били използвани функции, най-вече в табличен вид. Неформално функции се срещат често в трудовете на Галилео Галилей и Рене Декарт. За първи път дефиниция за функция въвежда Геофрид Лайбниц през 70те години на 17 век. В средата на 18 век Леонард Ойлер въвежда и означението f(x) познато и до днес.

В училище за първи път функции се въвеждат в средата на 19 век. В началото на 20 век функциите вече са основна и неизменна част от учебниците по математика. Започва да се налага идеята, че почти всяко нещо може да се представи като функция и така се появява и дидактическото понятие „функционален подход“.

Класическата дефиниция на понятието „функция“ е следната:

Деф. Функция наричаме правило, по което на всяка стойност на независима променлива се съпоставя точно една стойност на зависима променлива.

Тази дефиниция използва за основа понятието „правило“, което се приема за интуитивно ясно. За целите на математиката обаче можем да въведем по-строга дефиниция:

Деф. Релацията f от множеството А към множеството В се нарича функция от А към В, ако на всеки елемент х от А се съпоставя точно един елемент у от В.

Съществуват естествено и други дефиниции. Например за нуждите на физиката се използва доста лесната за усвояване:

Деф. Функцията е променлива величина, на която стойностите зависят от стойностите на друга променлива величина.

Все пак дефиниране на функциите чрез явното посочване на факта, че работят с множества, е може би най-добрия подход. Освен това още в самото начало поставяме едно нужно ниво на абстракция, а именно – елементите на множествата може да са всякакви. Съществува проблем, при който учениците отъждествяват понятието „функция“ с неговото видово понятие „числова функция“. Това естествено е само един от многото видове функции, които съществуват.

Естествено числовите функции надделяват в обема от задачи и учениците най-често работят с тях. Именно при тях е най-лесно и въвеждането на понятието „графика на функция“, при което се построява т.нар. „координатна система“, в която за всяко x се съпоставя точка от координатната равнина (x, f(x)). Графиките на функциите са чудесен и много полезен начин за онагледяване на сложни за анализ функции.

Подготовката за въвеждането на понятието функция започва още от най-началните класове. Там често се дават задачи в които децата попълват таблички като заместват даден параметър с различни числа. Това е именно пропедевтика чрез таблично представяне на функция.

По-късно в училище основно се разглеждат графиките на следните функции:

1. f(x) = a.x + b;
2. f(x) = a.x² + b.x + c;
3. f(x) = sin(x);
4. f(x) = cos(x);
5. f(x) = tg(x);
6. f(x) = cotg(x);
7. f(x) = a^x;
8. f(x) = log_a(x).

На всяка от посочените по-горе функции се разглеждат и вариантите:

1. f(x+a) – транслация по оста Х;
2. f(x) + a – транслация по оста Y;
3. f(x+a) + b – транслация;
4. -f(x) – осева симетрия спрямо оста Х;
5. f(|x|) – симетрия спрямо оста Y.

Що се отнася до построяването на графики на функции то най-често се основаваме само на индуктивни умозаключения. В училище не се използва и доказва пълна индукция, защото материала е прекалено сложен за доказателство. Например при построяването на графика на линейна функция ние построяваме поредица от точки, които накрая свързваме и забелязваме, че графиката е права линия. Така правим именно индуктивно заключение. В последствие правим и допълнително умозаключение, че е достатъчно да построим само две точки от графиката на линейната функция, за да получим дадената права.

В много по-късен етап, когато учениците са се сблъскали с изследването и чертаенето на графики на функции, можем да дадем и „обратната задача“. Това са евристични задачи в които според графика на дадена функция учениците трябва да се досетят за приблизителния вид на буквения запис на числовата функция.

Добре е да се дават и примери за функции  с други видове задачи. Например можем да покажем формулата за лице на триъгълник чрез функция, в която основата е константа (a), а височината е променлива (x), т.е. S = f(x) = a.x/2. Същото може да се покаже с лице на кръг (радиуса е променлива) и други фигури.

Накрая, след като учениците добре си служат с апарата на функциите, е много добре да се покаже метода за графично решаване на уравнения от типа f(x) = g(x), където решенията са пресечните точки на графиките на функциите f и g. Това обикновено предизвиква голям интерес у учениците.

Важно е да се избягва прекалено увлечение по функции от типа f(|x|). Получават се много начупени графики, които обикновено се харесват от учителите и учениците, но в никакъв случай не трябва да се пренебрегват другите варианти на f(x) заради тази. Трябва всички да бъдат тренирани равностойно.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Статия „функции“ в Wikipedia.