C, PHP, VB, .NET

Деф. Нека А={x₁, … , x_n} и В={y₁, … , y_n са две множества. Можеството или част от множеството на декартовото произведение на тези множества се нарича „двучленна релация“, т.е.  R ⊆ AxB = {<x₁, y₁>, … , <x_n, y_n>};

Понятието „двучленна релация“ е навлязло съвсем скоро в науката математика и поради тази причина все още не е навлезнала в училище. Все още няма и разработена ефективна методика за изучаване на двучленни релации.

Примери за двучленни релации, които се изучават в училище са:

1. Релациите „=“, „>“, „>=“, „<“ и „<=“ в различните множества от числа, в множеството на отсечките и в множеството от ъглите;
2. Перпендикулярност, успоредност, пресичане и кръстосаност в множеството на правите;
3. Перпендикулярност, успоредност и пресичане в множеството на равнините;
4. Перпендикулярност, успоредност и пресичане между множествата на правите и равнините;
5. Подобие, еднаквост и равнолицевост в множеството на многоъгълниците;
6. Допиране, пресичане и липса на общи точки между множествата на правите и окръжностите;
7. Подобие и тъждественост в множеството на алгебричните изрази;
8. Следствие и еквивалентност в множеството на съжденията;
9. Следствие и еквивалентност в множеството на уравненията и в множеството на неравенствата;
10. Еквивалентност в множеството на векторите.

Особено важни сред всички двучленни релации са т.нар. „релации на еквивалентност“. Това са релации, които са дефинирани в едно и също множество. Ако това множество е A, а релацията е R ⊆ AхA, то релациите на еквивалентност изпълняват следните условия:

• Транзитивност – ∀(х, у) ∈ R ∩ ∀(у, z) ∈ R ⇒ ∀(х, z) ∈ R.
• Симетричност – ∀(х, у) ∈ R ⇒ ∀(у, х) ∈ R;
• Антисиметричност – ∀(х, у) ∈ R ∩ ∀(у, х) ∈ R ⇒ x≡у (х съвпада с у);
• Рефлексивност – ако ∀х ∈ А ⇒ (х, х) ∈ R;

Всъщност липсата на изучаване на тези четири свойства е и един от основните методически проблеми в училище. Транзитивността например се изучава доста рядко. Например такава е теоремата, че ако права „a“ е успоредна на права „b“, а права „b“ е успоредна на права „c“, то права „а“ е успоредна на права „c“. Определено обаче дори в този пример липсва последователност. В много други случаи транзитивността дори не се споменава като факт.

Много често задачите се разглеждат „еднопосочно“ и не се тренира симетричност. Така например учениците винаги се досещат да развият (a+b)² = a²+2ab+b², но по-рядко се досещат да правят обратното – да заместват a²+2ab+b² = (a+b)². Същото важи с още по-голяма степен при задачите от тригонометрията – например sin2α = 2sinα.cosα се прилага често, но обратното 2sinα.cosα = sin2α. Проблемът с липсата на разглеждане на симетричността на двучленните релации започва още от разглеждането на формулите за съкратено умножение.

Колкото до антисиметричността – там положението не е по-различно. Децата много трудно могат да се досетят, че може да се докаже, че две числа са равни ако двете се делят взаимно (ако „a“ дели „b“ и „b“ дели „a“, то „a“=“b“). Въпреки това в учебните програми се разглеждат доста рядко такива доказателства.

Рефлексивността се изследва по-често и учениците се сблъскват с нея. Въпреки това трудно виждат равенството или равнолицевостта между застъпени или сливащи се геометрични фигури.

Като най-голям недостатък в изучаването на двучленни релации обаче можем да изтъкнем липсата на обобщение. Обикновено се разглеждат релации между конкретни обекти, но свойствата на самите релации не се изследват. Например изучават се задачи за успоредни прави, но не се разглежда обобщен въпрос „как да се установи успоредност“ в общия случай. Очаква се учениците да усвояват свойствата неосъзнато, но това не се получава винаги.

Методическите проблеми при изучаване на двучленни релации се задълбочават и от липсата на единство в начина на въвеждане на теореми-свойства и теореми-признаци в учебниците. Не е редък случая, в който така наречените по народно „обратни теореми“ не се разглеждат въобще. Именно те обаче често се оказват основни за усвояването на свойствата на двучленните релации.

Колкото до учителите – много често се сблъскваме с проблем, в който те се опитват да избегнат споменаването на терминология двучленни релации. Никак не е рядък случая, в който учениците са научени, че (x+3)/2=0 и (x+3)=0 (с освободен знаменател) са едни и същи уравнения. Те всъщност са две различни уравнения от един клас на еквивалентност, т.е. допуска се грешка с отъждествяване на обект с неговия клас. Не е рядкост и обратното – отъждествяване на клас с обект. Например един свободен вектор всъщност е представител на цял клас от насочени отсечки, но учениците много често отъждествяват целия клас с неговия представител.

Накрая трябва да споменем, че и отрицанието на двучленни релации също не се разглежда достатъчно. Дори тривиалните примери, като например, че !(a>b) <=> (a<=b) се пропускат. В по-късен етап този проблем се задълбочава. Например ако попитате учениците какво означава „правата a не е успоредна на правата b“, то рядко ще чуете изчерпателния отговор „(a пресича b) или (a съвпада с b) или (а и b са кръстосани прави)“. Именно тези задачи са основни за косвените доказателства (с допускане на противното) и никак не е чудно, че учениците се затрудняват с тях.

Използвана литература:

1. Методика на обучението по математика (специална част), Благоевград 2002;
2. Курс лекции по Дискретна Математика, проф. д.т.н. А. Д. Лазаров.