* Числото X
Публикувано на 26 август 2009 в раздел Математика.
Ако X е произволно реално число, което е различно от нула, то намерете:
- Числото, което е два пъти по-голямо от X;
- Числото, което е два пъти по-малко от X;
- Числото, което е K пъти по-голямо от X, където K е реално число;
- Числото, което е K пъти по-малко от X, където K е реално число.
Подсказка: Припомнете си какви могат да бъдат реалните числа...
Най-накрая някой да пише :)
Да видим:
1) x = -2 => 2x = -4. За съжаление -4 НЕ е 2 пъти по-голямо от -2
Същото важи за всички останали. Вземи отрицателно x и не се получава :)
Ъ?
1) 2X
2) X/2
3) KX
4) X/K
а тогава кое "е 2 пъти по-голямо от -2" ?
Е как - два пъти по-голямо от -2 е -1. Два пъти по-малко от -2 е -4.
Само елементарни алгебрични операции ли трябва да ползваме или може if, then, else, abs ... ? :)
Не, без логически оператори! Трябва всичко да бъде в един израз. В този смисъл "if-then-else" НЕ може, защото това е логически оператор (прави комбинация от изрази). Abs(x) или |x| (модул x) може, защото има възможност да участва като част от един израз.
Добре ето едно решение от мен:
1. f(X) = X.2|X|/X
2. f(X) = X.(1/2)|X|/X
3. f(X) = X.K|X|/X
4. f(X) = X.(1/K)|X|/X
Има и други варианти на това уравнение, но те са еквивалентни. Този запис ми се струва най-кратък :)
и защо решаваме, че -1 е точно 2 пъти по-голямо от -2
Защото при преминаване от положителният лъч към отрицателния понятията се обръщат. Пример:
при положителните числа (2)*3 = (6) и казваме, че 6 е три пъти по-голямо от 2. Че е "три пъти" - три пъти е. Защо казваме, че е "по-голямо"? Ами защото числото 6 е по-голямо от 2.
Обратно ако разделим (6):3 = (2) казваме, че числото 2 е три пъти по-малко от 6 - това действително е така 2<6
Нека преминем към отрицателните числа. Първо да разгледаме умножението: (-2)*3 = (-6). Какво ще кажем тук: "-6 e 3 пъти по-??? от -2". Естествено, че е по-малко, защото -6<-2. Накрая какво ще кажем за (-6):3 = -2 - "-2 e 3 пъти по-??? от -6"... Ами отговорът логично е "по-голямо". В конкретния пример (-2):2 = -1 => "-1 e 2 пъти по-голямо от -2"
За "-4 два пъти по-голямо от -2" няма как да стане. Помисли: -4 е по-малко число от -2, а ти казваш, че е "по-голямо" (няма значение колко пъти). Получава се грешно твърдение.
Защо -1 е точно два пъти по-голямо от -2 - мисля, че изказах логиката си в предишния коментар. Просто заедно със знаците се разместват и думите "по-голямо" и "по-малко".
Ще ти дам още един пример защо понятията се обръщат. Помниш ли какво става със знака на неравенство когато умножиш двете му страни с отрицателно число? Отговорът е, че се сменя. А знакът на едно неравенство е или "<" (по-малко) или ">" (по-голямо).
Не съм съгласен с тази логика. Самото понятие n пъти по-голямо, само по себе си предполага умножение. Ако приемем отрицателните числа за липса, то 2 пъти по-голяма липса от -2 е точно -4. Въобще единственият начин да приложим n пъти по-голямо е към абсолютните стойности на числата. Не съществува логика да обръщаме понятията. Че -1 е по-голямо от -2 спор няма, но зашо да е 2 пъти.
Колко пъти по-голямо от -2 е 2?
Минус един път по-голямо е. Звучи глупаво, но е така.
Ами щом се съгласихме по този въпрос, не виждам какъв е проблема да приемем, че -4 е 2 пъти по-голямо от -2. Звучи глупаво, но е така. Всъщност такива понятия не са приети в математиката и в момента се упражняваме по логика. Въобще както казах операцията n пъти по-голямо е приложима само по отношение на абсолютните стойности, защото това "пъти" може да се отчете само спрямо нулата.
Казах "звучи глупаво" защото просто не е естествено в нашата ежедневна реч да казваме "този предмет е минус три пъти по-голям от онзи". Иначе си е съвсем закономерно. Щом има "обръщане на посоката" (т.е. знакът), то имаме отрицателен коефициент за разтеж или намаляване.
Всъщност поради същата причина и ти самият изпитваш затруднение с отрицателните числа - те не са естествени за ежедневието ни. Няма предмети с отрицателни размери, тежести и т.н. така, че рядко ги използваме в ежедневието си и не сме свикнали с тях.
Колкото до "абсолютни стойности" си прав - да, ако разглеждаме числата само под тяхната абсолютна стойност, то умножението винаги "увеличава", а делението "намалява" числото. Когато обаче гледаме числата със знакът им това не е така.
И пак ще кажа - няма да "приемем, че -4 е 2 пъти по-голямо от -2" защото така приемаме нова аксиома, а това никак не е добре за по-нататъшните сметки. Ако искаш да откриеш нов клон в математиката обаче - това не е чак толкова лошо.
Накрая нека се абстрахираме от казаното дотук. Имаме числата a=-2 и b=-1. Имаме уравнението
a.2 = b
Кажи b колко пъти е и по-какво е от a?
Смятам спорът да свърши дотук, защото от уравнението няма как да се каже нещо по-различно от "2 пъти", защото коефициента по който умножаваме е 2 и няма как да се каже нещо по-различно от "по-голямо", защото b е просто по-голямо от a.
Съжалявам май започнах да се повтарям. Вече ми е изключително интересно как ще се отнесеш към задачите от теория на вероятностите като например първите две от темата за Майкъл Шакълфорд.
цялата ми идея беше, че точно този въпрос не е решен в математиката и честно казано нямам никакви проблеми с отрицателните числа. Естествено, че -1 е по-голямо от -2, но просто няма никакъв начин да кажем колко пъти.
Е, да кажем, че ти не можеш да кажеш - аз смея да мога и продължавам да го твърдя :)
Между другото не съм го измислил аз - още в училище сме засягали тази тема.
Уместна забележка от колега Васил Стоянов към дискусията - това не винаги е вярно и за положителните числа. Например ако умножим (2)*1/2 = 1, то сме умножили положително число с положителен скалиращ коефициент, но сме получили по-малко число, т.е. не може да се каже "1 е с 1/2 пъти по-голямо от 2", напротив - казваме "1 е с 1/2 пъти ПО-МАЛКО от 2".
Ако превърнем умножението в деление като сменим числител със знаменател на 1/2, то се получава (2):2 = 1 и тогава казваме "1 е 2 пъти по-малко от 2".
=> двата израза "1 е с 1/2 пъти по-малко от 2" и "1 е 2 пъти по-малко от 2" са еквивалентни. Именно съюзът "С" е изключително важен за разграничаването на тези случаи.
Ако ми покажеш един учебник, в който да пише нещо по вапроса веднага се съгласявам. Иначе просто си праим еквалибристика на езика. Има неща, който просто ги няма в математиката, защото създават конфликти. Например деление на нула.
Валентин: Математически няма проблем. Просто излиза извън рамките на практически приетото в реалния живот - някак си не е интуитивно, затова и хората го бъркат. По-горе съм дал аргументите си. Те впрочем не са лично мои - други математици вече са го казвали :)
При отрицтелни числа не може да има "пъти по-голямо". Вземи пример от физиката - когато се изчисляват отношения на температури, винаги се ползва температурата по Келвин. Именно защото не можеш дакажеш "днес е 0 градуса и утре ще е два пъти по-топло"
Така е - може да се демонстрира нагледно с вектори. Ако текущата загуба сочи наляво (в отрицателна посока), то "увеличение на загубата" ще означава да удължим вектора в неговата посока.
Филипе, много добре си го обяснил. Помогна ми да разясня на сина ми. В обичайния изказ се ползва друга методика: говори се за абсолютни стойности и отделно се определя положителни или отрицателни. Пр. 2 пъти по-голяма ЗАГУБА, където ЗАГУБА означава отрицателна стойност.