C, PHP, VB, .NET

Представям бърз, нередактиран и вероятно неточен превод от английски език, който направих за няколко часа на една статия от конференция миналата година. Надявам се да не се сърдите за неточностите, правописните грешки и стиловите грешки. Те са мое дело, а не на авторите.

За използването на динамичен софтуер за геометрия
с цел обхващане на подобията на триъгълници

Евгениос Авгеринос и Андреас Маринос

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 192 – 200

В настоящата статия ние правим сравнение между обучението за подобие на триъгълници с компютърен софтуер (Geometer’s Sketchpad) и обучението по същия предмет по класически начин. Изследването е проведено върху ученици от трета година в гимназия /бел. ред. отговаря на български 9ти клас/. Последвано е от оценка на нивото на запомняне на елементи, които са им казани и резултатите са сравнени. Вижда се значително подобрение на учениците, които са обучавани чрез компютърен софтуер.

1. Въведение

Технологията може да даде механизми за подкрепа на учителите по математика, като се използва за реформиране на обучението по математика в клас. Технологията помага за извършването на реформа в обучението по математика, но самата тя не е реформа (cf. Kaput 1992).

Свойствата на технологията, независимо дали специфична за математика или по-обща, трябва да бъде въвеждана и илюстрирана в контекста на смислени дейности свързани със съдържанието. Обучението в използването на технологии или компютърни умения и последващ опит за намиране на математически теми, в които те биха могли да се използват е сравнимо с преподаването на множество процедурни математически умения и чак тогава последващо даване на тяхни реални приложения, които могат да се решат с този математически апарат. Такъв подход може да скрие смисъла от изучаване и използване на технологията, да направи математиката като второстепенно допълнение и да доведе до изкувствени дейности. Използването на технологии в обучението по математика не е с цел да се преподава технологията, а с цел да се подобри преподаването на математика и ученето с помощта на технологията (Гарофало, Дриер, Харпър и Тимерман 2000). В ранна фаза от нашата работа ние разделяме множеството от насоки, за да оформим нашата разработка на математически дейности и материали (Гарофало, Шокей, Харпър и Дриер 1999). Петте насоки изброени по-долу показват какво вярваме, че е правилното използване на технологията в преподаването по математика:

• Въвеждането на технологията като контекст;
• Разглеждане на местата където си заслужава да се използва с подходяща педагогика;
• Взимане на предимство чрез технологията;
• Свързване на математически теми;
• Включване на различни видове представяния на материала.

Много често ние следваме тази концепция в ежедневния живот. Ние я използваме в редица практически проблеми, като например измерване на разстояния до точки до които нямаме достъп или в изображението на форми в перспектива което е използвано от дизайнери и художници, за да рисуват обекти от тримерното пространство на двумерни повърхности. Концепцията за сходствата основава част от науката математика и в частност геометрията и е доказана поне от гледна точка на училищната аналитична програма в гимназиалния етап на обучение и в лицеите. Нейното разбиране за последователност са от особен интерес за нас. Учениците срещат затруднения, които са трайни и дори са налични и в завършващите лицеи (Тсиакана 2006). Много от проблемите на разбирането на концепцията на подобните триъгълници съществуват във всички етапи на образованието. Тези трудности са налични поради факта, че концепцията за подобие е комплексна, понеже е тясно свързана с важността на пропорциите. В този проект е направен план на образователни дейности за обучение свързано с подобие на триъгълници с образователен софтуер за динамична геометрия за целева група ученици от трети гимназиален клас. Целта е да се даде на учениците възможност да изучават и разбират концепцията на подобията по енергичен и качествен път, да бъдат въвлечени в научно изследване, което подобрява тяхното критично мислене и създаване на способности за поемане на инициативата. Всяко от тези направления е дискутирано по-долу и илюстрирано с една или повече от нашите дейности. Колкото до подобието на триъгълници – два триъгълника са подобни когато имат два по два равни ъгъла или имат пропорционални страни.

Преценете предварително – ще подобри ли Geometer’s Sketchpad запомнянето на концепцията за подобие на триъгълници?

2. Теоретична рамка

Теоретичната рамка, която насочва нашето изследване е базирана на конструктивна перспектива в която обучението е разгледано като процес на изпитване на несъответствия и работа за решаването на смущенията като се използват подходящи обяснения (фон Гласерсфелд, 1987; Боуърс и Доер 2001). Както Щефе и Томпсън (2000) наскоро казаха, Пиаже твърди, че има четири фактора, които допринасят за едно познавателно развитие. Те включват социални връзки, съзряване, психически опит и саморегулация. „Индивидите създават равновесие между персонални схеми на действие и очакване като учавстват във взаимна адаптация и при затруднение от локални ограничения наложени от възможности за приспособяване на тези схеми” (Щефе и Томпсън 2000, Боуърс и Доер 2001). Критичен елемент от този общ модел е това учениците са представени като мотивирани към познание индивиди които непрекъснато взаимодействат един с друг и с тяхната среда (която включва компютъра и спохождащите го дейности) и приемащи тяхна собствена гледна точка по преме на процеса на интерактивно приспособяване. Ние взимаме много сериозно препоръката на Щефе и Томпсън, че „изследователите не трябва да прилагат стандартни модели като тези на фон Грасерфелд или на Виготски директно в практиката на обучението по математика”. Всъщност ние разглеждаме този модел като основен път за това как участниците в изследването приспособяват техния текущ модел за усвояване на математиката с предишните затруднения, които са изпитали по време на техните дейности. За да създадем път на нашите участници за адаптиране на тяхното разбиране към математиката и техните виждания за ефективна педагогика, ние разработихме дейности, които са свързани с обучението по математика по начини, които подкрепят по добро запомняне.

Една добре проектирана софтуерна програма, която се използва чрез насоките на учител, позволява на учениците да пробват и изследват концепциите, затова тяхното разбиране се развива като продължителен и динамичен процес на наблюдение, рефлексия и експеримент. Обектите, които са показани на екрана могат да бъдат символи за честа дискусия между учителя и учениците (Национален Съвет на Учителите по Математика 2000).

Още повече компютърът в математиката може да окуражи хипотези, оправдания и обобщения и да позволи прецизни анализи на елементи, изчисления и изследвания на множество различни типове от културни инструменти, което не само засилва, но и реорганизира познавателния процес чрез тяхната интеграция в социалната практика (Тамис 2005).

Преди да започне урока учителят стои лице в лице с учениците и ги разглежда като елементи, които трябва да адаптира за неговото обучение. Други елементи, които трябва да отчете са класната стая, проблеми в комуникацията които може да бъдат в класната стая или на мястото където се преподава, нуждата от контрол над обучението и компютрите, които ще бъдат използвани.  Освен това има и елементи, които учениците трябва да направят самостоятелно, но в които може да се наложи на учителя да помага. Това може да е например сблъскване с негативно отношение към технологията. Естествено може и да се окаже, че по този начин ще бъдат подтикнати да учат самостоятелно (Hall et. al. 1977).

3. Методи

Класирахме 34 ученици за учавстване в изследването. Те бяха разделени на две групи – експериментална и контролна. Всяка група съдържаше по 17 ученика. Експерименталната група използваше софтуера Geometers Sketchpad, а контролната група беше подложена на класически методи на обучение. Важно беше групите да са с равни способности от гледна точка на предварителните знания. Поради тази причина учителя по геометрия извърши предварително оценяване. Трябва да споменем също, че нито един ученик не беше учен преди това върху подобности на триъгълници.

При експерименталната група учителя процедираше по следния начин:

A. Равни два по два ъгъла водят до подобие на триъгълници

Учител: Създайте триъгълник BCD.

Ученици: Как?

Учител: Изберете… /учителят обяснява някои основи за работата със софтуера и показва на учениците как да създадат два подобни триъгълника BCD и B’C’D’/

Действие на учениците: Следват насоките на учителя.

Учител: Какво можете да кажете за тези два триъгълника?

Ученици: Те си приличат и са означени по подобен начин.

Учител: Много добре. Нека да видим дали ъглите на тези триъгълници са равни…

Ученици: Ще трябва да ги измерим!

Учител: /обяснява на учениците как да измерят ъглите и същевременно обобщава новите знания/

Действие на учениците: Прилагат насоките на учителя и лесно се убеждават, че ако ъглите са равни, то триъгълниците са подобни.

Б. Равни пропорции в съответни страни водят до подобни триъгълници

Учител: Измерете отсечките BC и B’C’. Какво е отношението на дължините им? За да измерим отношението на дължините директно ги маркираме едновременно и избираме “Ratio” от менюто “Measurement”.

Учител: Повторете последната стъпка но със страните CD и C’D’, а после и с DB и D’B’.

Действие на учениците: Изпълняват действията, за които ги напътсва учителя, но този път самостоятелно.

Учител: Какво можете да заключите след измерванията?

Учениците: Отношенията са равни!

Учител: Сега разместете върховете на триъгълник BCD и повторете измерванията. После обяснете какво наблюдавате за тези отношения между страните.

След като учениците се убедят, че при подобни триъгълници отношенията на страните са равни трябва да направим и изследване на отношението между лицата на триъгълниците.

Учител: /обяснява как със софтуера може да се изчисли лице на фигура/

4. Оценка

След три часа двете групи биват оценени в въпроси сходни на изказаните по-горе. Резултатите са следните:

–          Успяват да разпознаят подобие на триъгълник по пропорционални страни: контролна група 14, експериментална група 17;

–          Успяват да разпознаят подобие на триъгълник по равенство на всички ъгли: контролна група 4, експериментална група 14;

–          Две пропорционални страни и равни ъгли дават подобие на триъгълник: контролна група 3, експериментална група 12;

–          Допълнителна задача за пропорции на лица и периметри при подобни триъгълници: контролна група 1, експериментална група 6.

Корелационният фактор който съществува между класическия начин на обучение и обучение с новите технологии от показания експеримент е 0.84.

5. Заключение

Трябва да осигуряваме на учителите по-разширени възможности за опит в преподаване на математика в среди подкрепени от разнообразни технологии (Драйфус и Ейнсберг 1990). Сърцевината на този подход е в разбирането на математиката и в удоволствието от нея. Нашият интерес е насочен в даването на възможност на учителите да използват технологии в изучаването на математиката, решаване на задачи с отворен отговор, интерпретиране на математиката, създаване на разбиране и комуникация за математика (Брансфорд 1996, 1992).

Ние като математици и преподаватели трябва да направим най-добрата употреба на множество представяния, дори такива подкрепени от използването на технологии, да насърчим и помогнем на нашите ученици да използват множество подходи към математическите задачи и да ги въвлечем в креативно мислене. Най-важният аспект от Geometers Sketchpad е възможността да се използва директно ръководене на математически обекти и форми и да се редактират геометрични понятия в тяхната цялост от различни гледни точки. Педагогическият подход към софтуера подкрепя мнението, че обучението предразполага активно участие на ученици в социална среда в рамките на класа, която фундаментално съвместява учителя, ученика и връзките между учениците с дадените инструменти. Това предполага, че обучителната среда е богата на възможности за изследвания, анализ и композиция, разбиране на концепциите вътре в организацията на интелектуалната структура и активно участие на учениците с предложените инструменти за обучение.

6. Използвана литература

Бауърс и Доер – „Анализ на двойната роля на бъдещите учители в разбирането на математиката: извличане на растеж с технологията”, Списание за обучение по математика 4, Холандия;

Брасфорд, Зек, Шварц, Барън, Вай – „Насърчаване на математическото мислене в учениците: уроци от практиката”, Природата на математическото мислене (1996);

Драйфус и Айнсберг – „Трудностите при диаграмите: теоретични проблеми”, 14та годишна конференция на международната група по психология на математиката 1990.

Гарофало, Дриер, Харпър и Тимерман – „Представяне на подходяща технология в подготовката на учители по математика част 1”, CITE 2000;

Гарофало, Шокей, Харпър и Дриер – „Използване на подходяща технология в обучението по математика”, Учител по математика Вирджиния, 1999;

Голденберг – „Математически, технически и педагогически предизвикателства в обучението чрез графични интерпретации”, Списание за математическо поведение 1988;

Хол, Бейли и Тилман – „Може ли илюстрации на студент да струват десет хиляди думи”, Списание за обучителна психология 1997;

Лайнхард, Заславски и Стейн – „Функции, графи и графики: Задачи, учене и обучение”, Преглед на образователните изследвания 1990;

Национален съвет на учителите по математика – „Принципи и стандарти за училищната математика”, Рестън, САЩ;

… и други