C, PHP, VB, .NET

Представям бърз, нередактиран и вероятно неточен превод от английски език, който направих за няколко часа на една статия от конференция миналата година. Надявам се да не се сърдите за неточностите, правописните грешки и стиловите грешки. Те са мое дело, а не на авторите.

За два фундаментални подхода към развитието на
научно познание и тяхната употреба в дидактиката по математика

проф. Иван Ганчев и проф. Сава Гроздев

6-та средиземноморска конференция за обучение по математика
стр. 17 – 27

Това проучване засяга появата и прогреса на два фундаментални подхода към развитието на научно познание. Според авторите всеки един от тях представя една комплексна формация на три по-прости подхода, които по-късно се оказват изисквания. Според терминологията, с уважение към функциите на тези формации в научни и познавателни дейности, авторите използват следните имена за компонентите и за двата подхода: „елемент”, „повторение”, „зависимост” и респективно „разбиране”, „убеждение”, „икономичност”. Двата подхода ще бъдат наречени „триади”. Настоящата статия представя изучаване на аргументи за тезата, че втората триада дава начало на три изисквания, които се трансформират в норми за структуриране и представяне на математически знания още от времената на Древна Гърция. Изискванията са следните: да се дефинират понятия само на базата на първични или преди това дефинирани понятия; да се доказват твърдения като се използват аксиоми или вече доказани твърдения; да се използват вече доказани твърдения като теореми без да бъдат доказвани всеки път. Това изследване аргументира още тезата, че двете триади са изключително важни в обучението по математика за формиране на дедуктивно и евристично мислене. В допълнение в последните години двата фундаментални подхода-триади са използвани все по-съзнателно в научните и познавателните дейности в дидактиката по математика.

1. Една идея от развитието на геометрията в пред-гръцкия и първите векове на древногръцкия период

Много често се използва общ подход на различни нива при развитието на научно познание. Това може да се забележи най-лесно от историята на развитието на геометрията от пред-гръцкия и първите векове на древногръцкия период. На първо място се изучават „цели” обекти и се показват свойства на техни елементи. Базирайки се на такива свойства се забелязват и подобия между някои от разглежданите обекти. Това всъщност е и споменатото „повторение” на тип (форма). Така на даден тип се дава общо име: „лежащо поле”, „право поле”, „чело на бик”, „пирамида” (всъщност идващи от древен Египет), „кошница”, и т.н. По този начин двете формации започват чрез компонетните „елемент” и „повторение”. От тук започват да се правят и абстракции на реални обекти чрез стандартни геометрични фигури. Също така се забелязва, че някои от откритите свойства на обектите са свързани помежду си. Например ако срещуположните страни на лежащо поле не се приближават една към друга или не се раздалечават, то те са равни. Ако в допълнение на това срещуположните ъгли могат да се свържат с равни по дължина пръчки, тогава се получава право поле. При изследването на подобни връзки добавят още една компонента освен „елемент” и „повторение”, а именно „зависимост”. Всичко това формира триадата „елементи, повторение и зависимост”. По-късно когато се изучават отделни елементи на цели обекти този цикъл се повтаря на ново ниво. Използвайки езика хората се насочват към следните две дейности:

a) Описание на цели фигури като съставени от някои елементи, водят до създаване на дефиниции;

b) Формулиране на твърдения за връзките между елементите във фигури или връзки между елементите на различни фигури водят до създаване на теореми.

Най-общ разглеждан подход и описаните базови дейности могат да бъдат видяни в развитието на науките за езика, химията, анатомията и др. Разбира се това първо се случва в науката за езика в която се обръща внимание на отделни думи, което в резултат дава писането на йероглифи. По-късно се забелязва, че различните думи имат връзка помежду си защото се произнасят с едни и същи звуци, които се повтарят в различни комбинации. В химията е забелязано, че различни субстанции са съставени от повтарящи се елементи, броят на които се е увеличавал стъпка по стъпка докато достигат повече от 100.

Не е трудно да заключим, че триадата „елементнти, повторение и зависимост” осигурява лесно разбиране на обектите, понеже научно-познавателните методи „анализ”, „абстракция” и „синтез” се прилагат систематично в нея. Това, което се получава при анализа е разделение на един обект на много части (елементи), като всяка една от тях се разглежда поотделно. После те се синтезират обратно в първоначалния обект. Така обектът се изучава по-добре при конкретни приложения или за намирането на самия него като част (елемент) от по-комплексни обекти. Този подход е ефективен не само в изследването на нови обекти, но и в обучението (учене с помощ). Във вторият случай се разглежда нуждата от осигуряване на „разбиране на това което се обяснява и убеждение в неговата правота”.

2. Езикът като средство в познавателната дейност

В познавателната дейност – индивидуална или чрез обучение – човечеството е създало и използвало друго много мощно средство, а именно езика. Ролята на езикът е от една страна да фиксира знанията и от друга да прехвърля знания от един на друг индивид. Ние се интересуваме от втората част, понеже тя е свързана с обучението. Оказва се, че са се наложили два основни подхода:

a) Посочване на обект, който ще се изследва и директно съобщаване на неговото наименование, което е прието от предишните поколения;

b) Устно описание на обекта и директно съобщаване на неговото наименование, което е прието от предишните поколения.

Първият подход е познат като „остенсивен” и е използван от най-древни времена.

Ежедневието е научило хората, че успешна дейност във втория подход съществува само тогава, когато за описанието се използват от преди това познати думи. В този случай може да се получи психическото състояние, в което обучавания човек може да се оцени с фразата „аз разбрах”. Това е повтаряно милиони пъти когато децата се обучават на майчиния си език от опитни хора. Наскоро беше направено изследване от руската научна изследователка Котова, която преподава български език в Московски Университет. Професор Котова направила експеримент с обитатели на село край София. Тя избрала специални думи и попитала селяните как ще ги обяснят. Тя подбрала две групи от думи. Първата съдържала имената на обекти или дейности, които са налични и могат да се посочат на момента. При всички такива думи селяните директно посочвали обекта и назовавали името му. Например при въпроса „какво е кучешки зъб” се реагирало директно с отваряне на устата и посочване на зъба в нея. Втората група въпроси съдържала обекти, които не могат да се посочат на момента. Реакцията при такива въпроси била да бъдат описвани обектите чрез думи, които се предполага, че са вече познати за човека, който задава въпроса. Абсолютно аналогично селяните реагирали и на въпроси за абстрактни обекти. Заключенията от този експеримент са много важни за дидактиката.

3. Триадата „разбиране, убеждение и икономичност” като главен подход формиран в Древна Гърция.

Дори Аристотел е обръщал внимание на нуждата от обяснение на неща чрез други вече изучени. Давайки задължителните изисквания за дефинициите той е казал: „Дефиницията се въвежда за даване на знание за нещо, което се изучава и ние трябва да го знаем не чрез първото срещнато нещо, а чрез предшно и най-известно такова”. Заключението е, че Аристотел е знаел за изискванията за дефинициите, за да може да бъде приложено ефективно обучение и разбиране.

Стъпка по стъпка хората, които се занимават с математика са забелязали, че много математически обекти се дефинират по един и същи начин и се различават само по някои техни свойства. Затова те започнали да използват тези свойства в съответните описания. Допълнителните свойства се описвали чрез твърдения, чиято вярност е била обект на логическа обосновка по дадени правила. Така през 5ти век преди Христа се появяват теоремите и техните доказателства. Тук също обосновката е обект на изискването да бъдат използвани само преди това дефинирани думи и да се използват само преди това доказателства. Именно така се достига до „разбиране”. В глава 2 на „Втори Анализ” Аристотел пише: „За да бъде истинно едно знание което се доказва, доказателството също трябва да идва от истини: основни, директни, по-известни и предишни знания”. По-нататък той продължава: „По този път ако ние имаме заключение базирано на основно знание и сме приели това знание за истина, тогава ние знаем много повече за първичното знание и го приемаме за повече вярно от фактическото заключение”.

Изискванията за дефинициите и доказателствата са изказани от Аристотел не за математиката в частност, а общо за научното познание. Евклид ги е приел като идеал и начин за структуриране на математически знания. От тогава изискванията са станали задължителни за всички математици. Например през 17ти век Блез Паскал казва: „Реален метод се състои от два основни принципа: първият е да не използваме нови понятия преди да сме ги обаснили добре, а вторият е да не прилагаме твърдения преди да сме ги доказали с преди това доказани истини”. След като бъдат доказани веднъж твърденията се използват наготово по същия начин по който дърводелец използва повторно един и същи инструмент, който е създал. По този начин математиците подобно на дърводелеца „икономисват” труд, сили и време.

От казаното по-горе може да се види, че още от периода на Древна Гърция се заформят три идеала за човешки дейности и са въведени по естествен път в математиката, а именно „разбирането”, „убеждението” и „икономичността”. Мотивът да се осигури разбиране дава начало на изискванията за дефиниране чрез вече дефинирани понятия. Мотивът да се осигури убеждение дава начало на изискването да се доказва чрез вече преди това доказани твърдения. Мотивът за икономичност на труд, сили и време дава начало на идеята да се използват теоремите наготово без нужда от доказателство всеки път, когато биват използвани. Така освен триадата „елементи, повторение и зависимост” в Древна Гърция се появява нова, втора триада на „разбиране, убеждение и икономичност”. Сравнявайки пред-гръцкия период на математиката и древногръцкия можем да заключим, че втората триада се появява в Древна Гърция. Във връзка с елемента „убеждение” забелязваме, че следното твърдение е било добре познато в Древна Гърция: „В пред-гръцкия период най-важното е било да се отговори на въпроса „Как”, докато в Древна Гърция най-важният въпрос е бил „Защо””. Осъзнатото използване на първия подход помага на евристичните дейности на хората занимаващи се с математика и математическа дидактика, докато осъзнатото използване на втория подход увеличава ефикасността на преподаването им. В допълнение в разгледания случай разликата между двата периода от развитието на математиката съответстват на два различни периода в интелектуалното развитие на човечеството, а именно: периода на наивни, не критични и догматични вярвания, неаргументирано дадени от авторитети, и периода на критично възприемане с аргументирани твърдения.

Триадата „елементи, повторение и зависимост” се въвежда и използва не винаги в пълно единство между трите компоненти. Повторението на елементи е също възможно. Обикновено само „елементния” компонент се използва винаги във връзка с други компоненти. Например добре познато е изказването: „Всяка една от трудностите, които се разглеждат трябва да бъде разделена на възможно най-много части така, че да можем да се прицелим към най-ефективно решение”. Ясно е, че се има предвид връзка между компонента „елемент” във връзка с различните трудности, които са изградени от различни компоненти.

4. Триадата „елементи, повторение и зависимост” в съвременната дидактика по математика

В днешни дни осъзнато приложение на разделението на трудностите според възможностите на студента е надежден инструмент за ефективност в обучителния процес, особено по математика. Тази възможност е измислена като дедуктивна структура на съдържанието, но също така и в доказателството на всяка една теорема и в решението на всяка една задача. Показано е, че всяко решение на задача, в което е включена доказана теорема, може да се разгледа като серии от наредени задачи, които се базират само на преди това решени задачи или приети за вярни твърдения. Като следствие е изведено и понятието „задача-компонент”. Теоремата Z_k с решение A_k е задача-компонента за задачата Z_n със решение A_n ако A_k се съдържа в решението на A_n. Това понятие ни помага да усложним и обогатим езика на дидактическата теория на проблемите на дидактиката на математиката като последица от други понятия свързани с нея като „комплексно решение на задача”, „сложност”, „дидактическа система от задачи” и т.н. От тази възможност се прави и следния извод:

„Ако нивото на възможностите в даден клас са по-високи, тогава учителят трябва да избере задачи с решения използващи по-малко преди това задачи-компоненти. Обратно – ако нивото е по-ниско, то количеството на вече известните задачи-компоненти трябва да е по-голямо. Тази възможност трябва да се използва рационално, за да се избегнат трудностите в доказателствата на сложни теореми от матиматическата учебна програма”.

Също така, по време на упражненията в решаването на задачи, те трябва да бъдат подбрани и систематизирани по такъв начин, че не само да тренират вече познати понятия и концепции, но и да подготвят учениците за решение на нови задачи и доказателства на нови теореми. От друга страна този подход увеличава използването на нагледни принципи. Тази възможност е използвана през 1971 в графиката за стъпаловидно натрупване на знанията, където една голяма задача (стъпало) Z се разбива на по-малки задачи-компоненти (стъпала) Z₁, Z₂ и Z₃ и по този начин се облекчава изкачването на препятствието (решението на задачата).

Така предложената визуална презентация е в съответствие с идеята на Рене Декарт която е дадена в неговото трето правило за „учене на стъпка по стъпка нагоре до финалното знание на най-сложните предмети и явления”. Също така са и в съответствие на по-общата идея на българския академик Петър Кендеров за т.нар. „стъпки на знанието”, която беше използвана в части от европейския проект MATHEU.

Не е трудно да се заключи, че елементът „зависимост” на първата триада е изпълнение на закона на Хегел за диалектиката „обща връзка и съответна зависимост”. Оказва се, че дедуктивната структура на математиката е оказала съществено влияние на последователността от дейности които осигуряват „разбиране” на математическите знания и помагат да се развият способности за развитие на знанията. В много случаи изучаването на самото влияние в общи хипотези е необходимо, за да се спазват нормите за формиране на структурата за фиксиране на знания в дидактиката по математика. Този подход трябва да бъде дедуктивен аналогичен на дедуктивния подход предложен от Аристотел за структурата на научните знания в общ план. Подхода на Аристотел беше цитиран по-горе. Според авторите на настоящата статия, нормите засягащи дидактиката на математиката са следните:

1. Изучаването на всяка възможност свързана с използването на дадено знание трябва да разкрива факторите от които това знание зависи. Според авторите най-важните фактори са:

1.1.Информация за елементите свързани с използването на дадено знание и връзките между елементите;

1.2.Информация за връзките между знанието, което се разглежда и други знания;

1.3.Организация на подходящи дейности за упражнение на използването на връзките между изучаваното знание и други знания.

2. Изучаването на всяка дейност в обучението по математика трябва да различава всички фактори на които тя зависи и всички фактори които дават възможност за продължение към изучаване на други дейности.

3. Структурата и изучаването на всяка система от дейности трябва да организира местата на всяка една дейност. Всяка дейност трябва да бъде до достатъчно количество на вече изучени дейности и познати понятия които са във връзка с нея.

4. Структурата на всички системи от твърдения трябва да бъде организира местата на всяко едно твърдение. Всяко твърдение трябва да бъде близо до достатъчно количество вече доказани твърдения. С други думи структурното обучение трябва да предшества връзките.

Според авторите на настоящата статия приемането на изказаните норми или подобни на тях свързани със структурата на дидактиката на математиката ще подсигурят силна вътрешна систематизация, но също така и ще насочат към научни изследвания към откриването на връзки в дейности, процеси, явления, фактори и др. Знае се, че знанието за връзките на един предмет с други предмети не са по-маловажни от самия предмет или елементите и връзките в тях от които е изграден. Някои примери са посочени по-долу без претенции за достатъчно аргументиран, систематизиран и изчерпателен подход:

1.Възможността за използването на дадено математическо знание зависи изключително много от:

a) Продължителността на запомнянето;
b) Разбирането на знанието;
c) Направените дейности в изучаването на смисъла и използването на знанието

2. Успехът на учениците в изучаването на дадено математическо знание зависи от:

a) Осъзнаването, че знанието е самостоятелно отделено като елемент на друго по-пълно знание, но също така и осъзнаването на общата структура;
b) Математическа подготовка на учителите;
c) Подготовката на учителите в логиката;
d) Подготовката на учителите в дидактиката;
e) Подготовката на учителите в психологията;
f) Досегашното ниво на подготовка на учениците в математиката и изграденото им отношение към науката математика.

3. Продължителността на запомняне на дадено знание зависи от:

a) Нивото на разбирането (разбирането като процес и като състояние);
b) Количеството и характера на направените упражнения по време на изучаването му;
c) Нивото на задълженията към дейностите по време на изучаването;
d) Емоционални фактори по време на обучението;
e) Нивото на умората по време на обучението;
f) Поддръжката на знанията по време на обучението.

4. Разбирането на знание като резултат и като състояние зависи от:

a) Разбирането на дадено знание като процес по време на обучението;
b) Поддържането му като резултат от достатъчно количество дейностив които то се използва.

5. Разбирането на дадено знание като процес по време на обучението зависи от:

a) Нивото на преди това изучени знания, които се използват в обучението;
b) Условията за участие в дейности които са свързани с обучението;
c) Вниманието и умората;
d) Скоростта с която учителят обяснява и условията за това обясненията да достигнат учениците;
e) Активността на учениците.

6. Активността на учениците в обучението зависи от:

a) Разбирането на обясненията на учителя по време на обучението;
b) Съзнателното възприемане на целта на дейността и ролята на знанието за осъществяването й;
c) Осигурените условия за взимане на участие в дейността;
d) Емоционални условия.

Много е подходящо да показваме дейностите, процесите, фактите и връзките вътре в тях чрез граф-схеми. Нека да уточним, че всички 6 примера от по-горе могат да се изкажат много по-детайлно понеже характеристиките в a), b), c) и т.н. зависят и от други фактори, процеси, явления и дейности. Ситуацията е сходна с тази, която засяга дефиниции на понятия и доказателства на твърдения. Аристотел е изказал това като „неприятната безкрайност”. Както е добре известно в математиката тази „неприятна безкрайност” е решена като се приемат така наречените „първични елементи” – първични понятия и аксиоми. Наистина интригуващ проблем засяга дидактиката на математиката – дали може да бъдат приети подобни „първични елементи” при нея и какъв ще бъде характера и вида на тези „първични елементи”.

5. Математическото моделиране като етап в развитието на човешка познавателна дейност

Вече по-горе казахме, че изискването на Аристотел да се дефинира с преди това дефинирани концепции и да се доказва с преди това доказани твърдения важи не само за математиката, а за всички науки. Още повече ще покажем и други важни свойства които засягат специфични за математиката области от една степен в друга. Това, което слага специфично внимание на формацията на възможности за откритие на дадена структура (общи свойства, връзки и др.) от знания между различни дисциплини е диференциация на науките и е последица от диференциацията на учебните дисциплини. Това се случва дори когато една от дисциплините (например математика или дидактика по математика) е преминала в съзнателно разбиране и създаване на основи до ниво на условности. Оказва се, че формиране на възможности под подобни условия, които са характеристични  за дадена област, “завързват” тези възможности само към знания за самата област. Колкото повече знанията имат частен характер, толова по-силна е връзката. „Завързването” засяга осъзнатото разбиране до условна степен, защото според изследванията на психолога Виготски „връзката” може много лесно да премине в други области. Примера със структурата в областта на родовете в руския език е свързан с мисленето като Декартово произведение на две множества. Нека S_M e множеството на съществителните от мъжки род в руския език и O е множеството на окончанията за съществителни от мъжки род. Тогава съществителните са елементи на произдедението S_M X O. Има и аналогична ситуация с глаголите в българския, руския и френския език. Например ако G са стандартните обикновени глаголи в българския език и O са окончанията, тогава различните вербални форми са елементи на Декартовото произведение G X O. Фактически G е разделено на три класа на еквивалентност със съответни три характеристични гласни. По подобен начин множеството от уравненията ax = b могат да се разделят в три класа на еквивалентност със съответни три възможни решения които зависят от коефициентите a и b. Друг пример е свързан с множеството от решенията за построение дефинирани по следното параметрично представяне на задача: „Построете окръжност която е тангента на две дадени линии и минава през точка, която не лежи на нито една от линиите”.

В последните десетилетия откритието и използването на примери като по-горе ни показват, че неосъзнатите свойства на мисловната структура могат да бъдат направени осъзнати и могат да бъдат използвани за разбиране и за поддържане на запомнянето. Така прехвърлянето на мисловни структури от една област в друга стават възможни. За тази цел е подходящ общ подход за формирането към по-висши психически функции, като се използва терминологията на Виготски. От тук следва, че проблемът на междудисциплинарните връзки не трябва да се смята за тясна прагматична логика когато приложението на знанието от един предмет в друг е прекалено елементарно. Целта е да се формират по-висши психически функции с по-голяма степен на обобщеност. Проблемът е свързан директно с умственото развитие на учениците. Под съвременните условия в обществото това води до натурална доминация на информационните технологии в обучението. Напълно разбираемо е, че тази тенденция е видимо забележима и в дидактиката по математика. Като математици, специалистите по дидактика използват най-силния модел за моделиране в математиката. Поради тази причина не е странно, че за първи път законът за количествените натрупвания и качествени изменения намира добро място в акумулирането на знания и това се случва именно чрез дидактика по математика. Процесът на акумулиране на знания взима място под конкретни обстоятелства и може да бъде моделиран с диференциални уравнения. Тази ситуация е сходна с моделирането в екологията или моделирането на износване на машини. Такъв подход е използван в подготовката на талантливи ученици. Един от резултатите в тази посока е първото място на българския национален отбор в класирането на международната олимпиада по математика за гимназисти в Япония 2003. В съответният модел някои идеи от синергетиката и експерименталната психология са във важна връзка с математическите инструменти. Така може да се счита, че възможностите на диалектичните закони са далеч от това да се считат за изчерпани що се отнася до развитието на науките и в преподаването, като естествено в това число и дидактиката по математика. Това, което е важно е да се отнасяме към тях с подходяща връзка с математическите подходи и инструменти. Забележете също, че пропедефтиката в педагогиката се отнася към количествените натрупвания, докато подбуждането се отнася към качествените промени в психологията, тоест подбуждането е качествен скок. Така се прилага законът за количествените натрупвания и качествени изменения. Някои специалисти в дидактиката по математика и история на математиката защитават тезата, че за дедуктивната структура на знанието като цяло и математиката в частност този принцип на разумна аргументация е подсигурен както е в случая с идеологията за поддържане на робство в режим на демокрация в обществото. Като резултат за приемането на това в математиката се въвежда изискване да се дават отговори на въпроса „Защо”.

6. Заключение

Разгледаните примери и не само те показват, че математиката и методиката на обучение по различни дисциплини, дидактиката по математика и информатиката изграят и ще играят основна роля в системите на социалните науки и като последствие в социалната практика също. Ролята не засяга само техническите уреди за изчисление, дори в случаите когато използването на изчисления е далеч от възможността за моментално наблюдение и механични дейности. Още от времето на Аристотел, особено след популяризирането на обучението в училища, аргументацията на знанията създава форми на доказателствено (дедуктивно) мислене и евристичните способности в ученическите години. Хората стават критични и обикновено приемат само доказани твърдения, които са обосновани експериментално, чрез непълна индукция или дедуктивно, но никога само на вяра.