C, PHP, VB, .NET

Задача: Нека отсечката AB е с дължина l (|AB|=l) и нека точките M₁∈AB и M₂∈AB. Каква е вероятността |M₁M₂| ≤ k.l, където k e произволно число в интервала [0, 1]?

Решение: Нека |AM₁| = x. Взимаме в ляво и в дясно от M₁ точките C и D такива, че |CM₁| = |M₁D| = k.l. Да разгледаме два случая:

I случай. k≤½l

Тук имаме три възможни положения на точките:

a) 0< x < kl

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ AD и |AD| = x+kl

b) kl < x < l-kl

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ CD и |CD| = 2kl

c) l-kl < x < l

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ CB и |CB| = l-x+kl

Общата вероятност от трите подслучая е:

II случай: k > ½l

a) 0 < x < l-kl

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ AD и |AD| = x+kl

b) l-kl < x < l

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ AB и |AB| = l

c) kl < x < l

Тогава вероятността P(M₁M₂ ≤ k.l) съвпада с вероятността т.M₂ ∈ CB и |CB| = l-x+kl

Общата вероятност от трите подслучая е:

Тъй като и в Iсл и в IIсл вероятностите са едни и същи, то общо вероятността е:

P = 2k – k²

Средна стойност: Нека разгледаме и средната стойност на отсечката M₁M₂. Нека |AM₁|=x и |AM₂|=y. Тогава средната стойност е: