C, PHP, VB, .NET

Квадратичните форми заемат централно място в много клонове на математиката. Такива са теория на числата, теория на групите, диференциална геометрия, диференциална топология и др. В частност се изучават с реални и комплексни коефициенти и в предмета линейна алгебра. Тази тема обикновено е и последна в курса. В т.нар. „Метод за привеждане на квадратична форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация“ практически могат да се използват почти всички знания, които са добити от предишни теми в курса.

Деф. Квадратична форма наричаме израз от вида:

[math]f(x_1,…,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j[/math]

Деф. Матрица на квадратичната форма наричаме квадратната матрица:

[math]A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}[/math]

Следствие: Ако [mathi]x[/mathi] е векторът [mathi](x_1, …, x_n)[/mathi], то имаме зависимостта:

[math]f(x_1, …, x_n) = x^t A x[/math]

Деф. Ще казваме, че една квадратична форма е в каноничен вид, ако има вида:

[math]f(x_1,…, x_n)=a_{11}x_1^2+…+a_{nn}x_n^2[/math]

Теорема на Лагранж. Всяка квадратична форма може да се приведе в каноничен вид чрез прилагане на неособени линейни трансформации.

В следващите две задачи ще покажем метод за намиране на поредица от една или повече линейни трансформации, чрез които ще привеждаме квадратична форма в каноничен вид.

Задача 1 а). Дадена е квадратичната форма [mathi]f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+4x_2x_3[/mathi]. Приведете я в каноничен вид.

Решение: 1) Търсим има ли коефициенти пред някое [mathi]x_i^2[/mathi], които да са различни от нула. Има, такъв например е коефициентът [mathi]1[/mathi] пред [mathi]x_1^2[/mathi]. Взимаме всичси събираеми, които съдържат [mathi]x_1[/mathi]:

[math]f(x_1,x_2,x_3)=(x_1^2+4x_1x_2+6x_1x_3)+4x_3^2+4x_2x_3[/math]

Искаме да допълним полученото в скобите до точен квадрат като използваме формулата [mathi](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc[/mathi]. Получаваме:

[math]f=[x_1^2+2x_1(2x_2)+2x_1(3x_3)+\mathbf{(2x_2)^2}+\mathbf{(3x_3)^2}+\mathbf{2(2x_2)(3x_3)}]\mathbf{-4x_2^2-9x_3^2-12x_2x_3}+4x_3^2+4x_2x_3[/math]

Вижда се, че удебелените в скобите събираеми са извадени извън скобите и така нищо не се променя. Този израз опростяваме до:

[math]f=(x_1+2x_2+3x_3)^2-4x_2^2-5x_3^2-8x_2x_3[/math]

Разглеждаме квадратичната хорма [mathi]g(x_2, x_3) = -4x_2^2-5x_3^2-8x_2x_3[/mathi]. За нея отново групираме и допълваме до точен квадрат:

[math]\begin{array}{l} g=-(4x_2^2+8x_2x_3)-5x_3^2\\ => g= -((2x_2)^2+2.(2x_2)(2x_3)+(2x_3)^2)+(2x_3)^2-5x_3^2\\ => g=-4(x_2+x_3)^2 – x_3^2 \end{array}[/math]

Заместваме в уравнението на [mathi]f[/mathi] и получаваме:

[math]f(x_1,x_2,x_3)= (x_1+2x_2+3x_3)^2-4(x_2+x_3)^2-x_3^2[/math]

Полагаме:

[math]\begin{array}{l}y_1 = x_1+2x_2+3x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3 = x_3\end{array}[/math]

=>

[math]f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2-4y_2^2-y_3^2[/math]

б) Намерете матрицата на [mathi]f[/mathi] преди и след трансформацията

Решение: Да припомним, че в началото квадратичната форма беше следната:

[math]f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+4x_2x_3[/math]

Това може да бъде написано по следния начин:

[math]f=x_1x_1+0x_2x_2+4x_3x_3+2x_1x_2+2x_2x_1+3x_1x_3+3x_3x_1+2x_2x_3+2x_3x_2[/math]

От тук намираме и матрицата:

[math]A_{f(x_1,x_2,x_3)}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}[/math]

Аналогично матрицата след трансформацията е:

[math]A_{f(y_1,y_2,y_3)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/math]

в) Намерете матрицата на линейната трансформация, която привежда [mathi]f[/mathi] в каноничен вид

Решение: Да припомним полагането:

[math]\begin{array}{l}y_1 = x_1+2x_2+3x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3 = x_3\end{array}[/math]

Искаме да изразим [mathi]x_1, x_2, x_3[/mathi]. Следователно:

[math]\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )\sim…\sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left. \begin{matrix} 1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )[/math]

Откъдето матрицата на линейната трансформация е:

[math]T=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Проверка: Трябва да се провери дали е изпълнено

[math]A_{f(y_1,y_2,y_3)}=T^t A_{f(x_1,x_2,x_3)} T[/math]

Т.е. дали:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Това е вярно, следователно сме смятали правилно.

Задача 2. Дадена е квадратичната форма [mathi]f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3[/mathi]. Приведете я в каноничен вид, намерете матриците преди и след трансформацията и намерете матрицата на линейната трансформация.

Решение: Матрицата на квадратичната форма преди трансформацията намираме непосредствено от условието:

[math]A_{f(x_1,x_2,x_3)}=\begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2\\ 1/2 & 0 & 1/2\\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Няма [mathi]x_i^2[/mathi], което да изберем (всички коефициенти пред втори степени са 0). В такива случаи правим следната смяна:

[math]\begin{array}{l} x_1 = y_1-y_2\\ x_2 = y_1+y_2\\ x_3 = y_3 \end{array}[/math]

От тази смяна непосредствено намираме матрицата на трансформация

[math]T_{x\rightarrow y}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Така квадратичната форма добива вида:

[math]\begin{array}{l} f(y_1,y_2,y_3)=(y_1-y_2)(y_1+y_2)+(y_1-y_2)y_3+(y_1+y_2)y_3\\ => f(y_1,y_2,y_3)= y_1^2-y_2^2+2y_1y_3 \end{array}[/math]

Нейната матрица в този вид ще е:

[math]A_{f(y_1,y_2,y_3)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/math]

Така получената квадратична форма вече можем да канонизираме по същия начин, по който го направихме в задача 1. Преобразуваме я до:

[math]f(y_1,y_2,y_3)=(y_1+y_3)^2-y_2^2-y_3^2[/math]

Правим полагането:

[math]\begin{array}{l} z_1=y_1+y_3\\ z_2=y_2\\ z_3=y_3 \end{array}[/math]

Откъдето получаваме

[math]f(z_1,z_2,z_3)=z_1^2-z_2^2-z_3^2[/math]

Тази квадратична форма вече е в каноничен вид. Нейната матрица е:

[math]A_{f(z_1,z_2,z_3)}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/math]

Намираме матрицата на последната трансформация:

[math]T_{y\rightarrow z}: \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (1) \end{matrix} \right | \left. \begin{matrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )\sim\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left. \begin{matrix} 1 & 0 &-1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )[/math]

Тоест

[math]T_{y\rightarrow z}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Проверка: От първата трансформация имаме:

[math]A_{f(y_1,y_2,y_3)} = T_{x\rightarrow y}^t A_{f(x_1,x_2,x_3)} T_{x\rightarrow y}[/math]

От втората трансформация имаме:

[math]A_{f(z_1,z_2,z_3)} = T_{y\rightarrow z}^t A_{f(y_1,y_2,y_3)} T_{y\rightarrow z}[/math]

Заместваме матрицата от първата трансформация във втората и получаваме:

[math]A_{f(z_1,z_2,z_3)}=T_{y\rightarrow z}^tT_{x\rightarrow y}^t A_{f(x_1,x_2,x_3)} T_{x\rightarrow y} T_{y\rightarrow z}[/math]

Деф. Ще наричаме една матрица [mathi]A[/mathi] „ортогонална“, ако [mathi]A^t.A=E[/mathi], т.е. когато [mathi]A^t=A^{-1}[/mathi]

Твърдение. От упражнението за собствени стойности и собствени вектори на линеен оператор знаем как при дадена матрица [mathi]A[/mathi] да намираме неособена матрица [mathi]T[/mathi] и диагонална матрица [mathi]D[/mathi] такива, че [mathi]D=T^{-1}AT[/mathi]. Ако матрицата [mathi]T[/mathi] е ортогонална, това равенство ще бъде [mathi]D=T^{t}AT[/mathi]. Ако приложим същия принцип върху матрицата на квадратичната форма, ще намираме нейната матрица в каноничен вид.

Деф. Трансформация с ортогонална матрица, която привежда една квадратична форма в каноничен вид, ще наричаме ортогонална трансформация.

Метод за привеждане на квадратична форма в каноничен вид чрез ортогонална трансформация: Ортогоналната трансформация може да се намири в четири стъпки:

1. Намерете собствените стойности на матрицата на квадратичната форма.

2. Намирете собствените вектори на матрицата на квадратичната форма;

3. По метода на Грам-Шмид постройте ортогонални вектори изхождайки от собствените вектори;

4. Получените ортогонални вектори ги нормирайте и се запишете по стълбове в матрица. Получената матрица ще е ортогонална и тя ще бъде матрицата на ортогоналната трансформация, която привежда квадратичната форма в каноничен вид.

Ще демонстрираме метода директно чрез пример:

Задача 3. Дадена е квадратичната форма:

[math]f(x_1,x_2,x_3)=8x_1^2-7x_2^2+8x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3+8x_2x_3[/math]

Приведете я в каноничен вид чрез метода за намиране на ортогонална трансформация

Решение: Намираме матрицата на линейната трансформация:

[math]A_{f(x_1,x_2,x_3)} = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1\\ 4 & -7 & 4\\ -1 & 4 & 8 \end{pmatrix}[/math]

Намираме характеристичния полином:

[math]\begin{vmatrix} 8-\lambda & 4 & -1\\ 4 & -7-\lambda & 4\\ -1 & 4 & 8-\lambda \end{vmatrix}=0[/math]

Тоест:

[math]-\lambda^3+9\lambda^2+81\lambda-729=0[/math]

Чрез групиране или по таблицата на Хорнер намираме корените:

[math]\lambda_1=\lambda_2=9, \lambda_3=-9[/math]

Квадратичната форма в каноничен вид ще бъде:

[math]f(y_1, y_2, y_3)=9y_1^2+9y_2^2-9y_3^2[/math]

Като нейната матрица ще бъде:

[math]A_{f(y_1,y_2,y_3)}=\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0\\ 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}[/math]

Остава да намерим неособената матрица на линейната трансформация. За целта намираме собствените вектори.

На [mathi]\lambda_1=\lambda_2=9[/mathi] отговарят собствени вектори [mathi]a_1(-1,0,1), a_2(4,1,0),[/mathi].

На [mathi]\lambda_3=-9[/mathi] отговаря собствен вектор [mathi]a_3(1,-4,1)[/mathi]

Сега остава да ортогонализираме векторите [mathi]a_1, a_2, a_3[/mathi] по метода на Грам-Шмид:

Полагаме [mathi]e_1=a_1=(-1,0,1)[/mathi]

Полагаме [mathi]e_2 = a_2+\lambda_{21}e_1 = … = (2,1,2)[/mathi]

Полагаме [mathi]e_3 = a_3+\lambda_{31}e_1+\lambda_{32}e_2 = … = (1,-4,1)[/mathi]

Нормираме векторите:

[math]\begin{array}{l}e_1^0=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right )\\ e_2^0=\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right )\\ e_3^0=\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}, -\frac{4}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}} \right ) \end{array}[/math]

И намираме матрицата на трансформацията:

[math]T_{x\rightarrow y}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} &\frac{1}{3\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{4}{3\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix}[/math]