* Формули на Крамер
Публикувано на 08 август 2014 в раздел Линейна алгебра.
Формулите на Крамер ни позволяват да решаваме системи от ленейни уравнения. Въпреки, че са доста по-неефективни спрямо метода на Гаус, те са интересна демонстрация за приложимостта на детерминантите.
Деф. Ще казваме, че матрицата [mathi]A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}[/mathi] е неособена, тогава и само тогава, когато [mathi]detA\neq 0[/mathi]
Нека имаме системата от линейни уравнения:
[math]\left|\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{matrix}\right.[/math]
Формулите на Крамер се прилагат тогава, когато имаме „n“ уравнения с „n“ неизвестни и когато матрицата им е неособена.
Деф. Ще бележим детерминантата [mathi]detA[/mathi] с [mathi]\Delta[/mathi]
Деф. С [mathi]\Delta_{i}[/mathi] ще бележим детерминантата, която се получава когато в [mathi]\Delta[/mathi] заменим „i“-ти стълб със стълба на свободните членове b1, …, bn
Формули на Крамер: Ако матрицата A на системата от линейни уравнения е неособена, тя има единствено решение, което е:
[math]\left| \begin{matrix}x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}\\ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}\\ \cdots\\ x_n=\frac{\Delta_n}{\Delta} \end{matrix} \right.[/math]
Задача 1. Решете системата от линейни уравнения чрез формулите на Крамер.
[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+3x_2=7\\ x_1+2x_2=4 \end{matrix} \right.[/math]
Решение: Последователно намираме трите нужни детерминанти:
[math]\Delta=\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=4-3=1[/math]
[math]\Delta_1=\begin{vmatrix} 7 & 3\\ 4 & 2 \end{vmatrix}=14-12=2[/math]
[math]\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & 7\\ 1 & 4 \end{vmatrix}=8-7=1[/math]
От тук намираме решението:
[math]x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=2[/math]
[math]x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=1[/math]
Задача 2. Решете системата от линейни уравнения чрез формулите на Крамер.
[math]\left| \begin{matrix} 2x_1-x_2+x_3=3\\ x_1+2x_2-x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=8 \end{matrix} \right.[/math]
Решение: Намираме:
[math]\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5[/math]
[math]\Delta_1 = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -1\\ 8 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5[/math]
[math]\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}=10[/math]
[math]\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\\ 1 & 2 & 2\\ 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}=15[/math]
Откъдето намираме решението:
[math]x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=1[/math]
[math]x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=2[/math]
[math]x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=3[/math]
Задача 3. Решете системата от линейни уравнения чрез формулите на Крамер.
[math]\left| \begin{matrix} 2x_1+x_2+2x_3+x_4=0\\ 2x_1-x_2-x_3+2x_4=2\\ 2x_1+2x_2+x_3+2x_4=3\\ 2x_1-3x_2-x_3+3x_4=1 \end{matrix} \right.[/math]
Решение: Намираме:
[math]\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 1 & 2\\ 2 & -3 & -1 & 3 \end{vmatrix}=18[/math]
[math]\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & -1 & 2\\ 3 & 2 & 1 & 2\\ 1 & -3 & -1 & 3 \end{vmatrix}=0[/math]
[math]\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 & 1\\ 2 & 2 & -1 & 2\\ 2 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}=18[/math]
[math]\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 3 & 2\\ 2 & -3 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-18[/math]
[math]\Delta_4 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & 0\\ 2 & -1 & -1 & 2\\ 2 & 2 & 1 & 3\\ 2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}=18[/math]
Откъдето намираме решението:
[math]x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=0[/math]
[math]x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=1[/math]
[math]x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=-1[/math]
[math]x_4=\frac{\Delta_4}{\Delta}=1[/math]
Виждаме, че за „n“ уравнения с „n“ неизвестни на нас ни се налага да пресметнем „n+1“ детерминанти от „n“-ти ред.
Добави коментар