* Да сравним две множества
Публикувано на 06 януари 2012 в раздел Математика.
Кое множество има повече елементи – множеството на целите числа или множеството на четните числа?
Публикувано на 06 януари 2012 в раздел Математика.
Кое множество има повече елементи – множеството на целите числа или множеството на четните числа?
до колкото и двете са безкрайни множества, въпросът има ли смисъл?
все пак, множеството на четните числа е подмножество на множеството на целите числа, така че в дадена област елементите на множеството на целите числа ще са повече от тези на четните, така увеличавайки размера на областта по метода на мат. индукция май излиза, че множеството на целите числа има повече елементи.
Множеството на целите, защото ако то съдържа N елемента, множеството на четните ще съдържа N/2.
Ето тогава една задача тогава – във виртуална игра разполагате с безкрайно количество пощенски пликове, като във всеки плик има различна положителна сума пари (цяло число). Тоест можете спокойно да подредите пликовете според това, което съдържат като 1лев, 2лева, 3лева, 4лева, …
Хитър банкер ви предлага следната сделка: „ще удвоя парите във всеки един от твоите пликове!“. Звучи изгодно, нали? Ако например вземете първите четири плика 1,2,3,4 (сума 10лева), то те ще се трансформират в 2,4,6,8 (сума 20лева). Значи би трябвало след сделката сумата да е е удвоила!
Да, ама май не! Преди сделката сте имали следните пликове: 1,2,3,4,5,6,7,8,…,n,… (до безкрайност), а сега имате само 2,4,6,8,…,2k,… (до безкрайност). Преди разполагахте с всички числа за суми, а сега разполагате само с четните. Банкерът ви е взел всички нечетни, т.е. според това, което казахте по-горе излиза, че вие трябва да имате два пъти по-малко пари?
Е как така хем удвоихме сумата във всеки един плик, хем парите намаляха наполовина?!???
Зависи дали търсим стойност или бройка. В безкрайно множество удвояването винаги ще води до повишаване на стойността и намаляване на бройката.
Нито се увеличава стойността, нито се намалява бройката. И двете продължават да са си безкрайни.
Една равнина е безкрайна, една полуравнина също е безкрайна, но полуравнината е по-малка. Това с банкера няма смисъл, защото включва сравнение на суми от безкраен брой безкрайни числа.
Какво значи „по-малка“? Равнината няма лице. Те въобще не могат да бъдат сравнени, защото няма по какъв критерии да се направи.
YES – интересно. Щом може – защо не го докажеш?
Такова нещо като „половин безкрайност“ просто не съществува и не може да съществува. Да го кажа по-грубиянски – откъде знаеш, че си „разрязал“ равнината точно в средата й? И изобщо на безкрайността къде й е средата?
Съгласен съм с примера на Mertol. Ако площта на една равнина е една безкрайност, на полуравнината е половин безкрайност, а на един квадрант е четвърт безкрайност. И доказателство за това е, че 4 квадранта са = на една равнина. Може да се докаже и чрез граници (лимеси).
Въпроса е дали считаме, че като добавяме елементи към множество го уголемяваме.
Ако е крайно се увеличава. Ако е безкрайно нищо не можем да кажем.
Впрочем ако вземете биекцията за основа на оценката на размера на множествата, то според теорема (мисля) на Рихард Дедекинд следва, че всяко безкрайно множество може да бъде дефинирано като множество, което има същия размер, като поне едно свое строго подмножество.
Да, смятам, че е ясно като бял ден, че равнината е разрязана по средата й. Доказателство йок. Ще се затрудня да докажа и че през две точки минава само една права, просто не ме търси за това. Може да се приеме и че една точка разделя правата на две полуправи точно по средата й, ако това е било „узаконено“ в някои основно принципи, ама като не е кво да правим.
А доказателсвото с лимеси е като се приеме, че площта на 1 квадрант е X. Тогава на 2 е 2Х, а на равнината е 4Х. И lim (4X/X) при X–>oo e = 4
Хайде сега глупости. Нека имаме една права. На нея избираме две различни точки A и B:
–-A––-B––
Коя от двете точки е „средата на правата“? По това, което каза YES и двете могат спокойно да бъдат „точно средата на правата“. И какво се получи – две различни точки са една и съща точка? УПС! Даже по индукция ще излезе, че всички точки са една и съща точка.
Същото става с равнината.
Почнах да ги броя, стигнах до 100 и се отказах :)
YES – много ти е лека ръката, та да пренебрегваш отсечки, които могат да бъдат какво безкрайно малки, така и безкрайно голями. Изобщо щом всяка една точка от цялата права изпълнява ТВОЕТО условие да е среда, значи всички точки от правата са среди на нея. Това ако не е абсурд, то здраве му кажи.
Значи просто правата няма среда. И равнината няма половина. Това е и което математиката казва по въпроса впрочем :)
Да, така си е!
Разстоянието между двете точки А и В е толкова малко в сравнение с дължината на правата, че все едно и двете са по средата. Например Гошо е застанал на пътя София-Варна някъде около Велико Търново и го считаме, че е в средата, а Пешо е застанал на 40 метра по на изток, пак на пътя и той също е в средата между А и В. Защото 40 метра спрямо 500 км е като 4 стотинки спрямо 500 лева. А какво са 4 стотинки спрямо външния дълг на САЩ, повдигнат на степен 1109, което си е около безкрайност!?
Проблемът е, че има малко аксиоми относно безкрайностите.
Един виц с въпрос. Човек помолил фризьора да му среши косата на път точно по средата, а фризьорът му казал, че това е невъзможно. Защо ??
mertol – напротив, пак не си разбрал. Това са несравними множества от точки – поне що се отнася до броя точки в тях, дължината им и т.н.
Е в такъв случай лъч, права, полуравнина, равнина и каквото още се сетите са еднакви по големина множества от точки.
Фризьорът му казал, че е невъзможно да му среши косата на път точно по средата, защото космите са му нечетен брой. буха-ХА-Ха-ХА.
А проблемът е че трудно се дефинира дали даден косъм е на главата, врата, ушите, раменете, пък ако щете и краката.
С правата е същото. Слагаме една точка 0 и казваме, че тук е нулата, средата и толкова и всички у лево са отрицателни, а у десно положителни и толкова. Било абсурд. Това ми е теорията.
YES – Това каква точка ти си сложил за 0 няма нищо общо с това, че броя на точките „у лево“ и „у десно“ са безкрайни множества и съответно не са сравними.
Мисля, че двете множества имат еднакъв брой елементи – безкраен.