* Вероятно трудна задача за матрици…
Публикувано на 03 октомври 2011 в раздел Математика.
Задачата е свързана с теория на вероятностите и линейна алгебра. Хрумна ми в момента и не съм мислил по нейното решение.
Задача. Дадена е матрица с размерности nxn от произволни цели числа. Каква е вероятността матрицата да е обратима?
Пояснение: Една матрица е обратима тогава и само тогава когато детерминантата ѝ е различна от нула.
П.П. По първоначална моя оценка вероятността ще е клоняща към (или дори може би „равна на“) 1, но колко точно?
Вероятно грешен отговор :)
Възможните стойности на детерминантата са безкрайно много (всички числа). Каква е вероятността да е точно едно от тях, а именно 0? Ами 1 към безкрайност, т.е. практически 0.
Има ли логика?
Има логика, но не. Проблемът е, че в една матрица от тип nxn има безкрайно много варианти за елементи, които биха направили детерминантата 0. С това се налага да сравняваш една безкрайност с друга… а това не е толкова тривиално :)
Придържай се към темата или ще те трия за спам. Кофти е да изгониш единствения си посетител, но не се скруполя за това, хаха! :)
Я сега доложи как го сложи тоя латех в блога? Искам и аз, искам и аз!
[math]\color{blue} \int_{0}^{1} x dx = \left.\frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}[/math]
1х1 матрица има 1 към безкрайност шанс да има детерминанта 0
2х2 матрица има детерминанта i11*i22-i12*i21. Ако нито едно от числата не е 0 тогава i11=i12*i21/i22 очевидно това да се случи е отново 1 към безкрайност , тъй като и двете числа от двете страни на равенството са безкрайно много. Шанса някои от числата да са 0 също е безкрайно малък.
Ако продължаваме да увеличаваме размера на матрицата очевидно шанса не става по-добър. Така че решението 0. По-интересно става ако имаме краен брой възможни числа и вероятността се търси като функция от размерността на матрицата.
ъъх, това:
„очевидно това да се случи е отново 1 към безкрайност , тъй като и двете числа от двете страни на равенството са безкрайно много“
всъщност (поне за мен) никак не е очевидно.