* Разбърканите писма
Публикувано на 08 юни 2011 в раздел Математика.
Задача 1. Секретарка носи три листа и три надписани пощенски плика, в които трябва да ги вкара и да ги изпрати. Без да иска изпуска всичко на земята и листата се разбъркват. Понеже бърза много, а и не блести с особена работна култура, секретарката просто събира листата и ги вкарва всеки в различен плик, но без да съблюдава дали листата съвпадат с пликовете. Каква е вероятността поне едно писмо да бъде изпратено на правилния адрес?
Задача 2. Решете задачата, като писмата този път са десет.
Задача 3. Решете задачата, като писмата са „n“ на брой
Не съм съгласен. Обясни как си стигнал до тези стойности?
Задача 1: Вероятността е 1/6
Задача 2: 1/3628800
Задача 3: 1/к като к е пермутация на n елемента. Може да бъде изчислено като n! – http://www.wolframalpha.com/input/?i=10!
Lesna Rabota – я сега ти обясни как си сметнал това :) ivan е в грешна посока *.
еdit: или по-скоро не – в правилна е :)
Според мен ни трябват всичките възможни подредби на писма спрямо пликове, което е пермутация на n елемента, което се смята като n!.
Сега, тук обаче съм объркал нещо в условието.
> Каква е вероятността поне едно писмо да бъде изпратено на правилния адрес?
Това по инерция съм го прочел като „по колко възможни начина могат да се подредят пликовете в писмото“, което е съвсем друга задача :)
Да помисля малко…
Ако имаме три плика А, Б и В с три писма а, б и в… Писмото а може да влезе в пликовете А, Б и В, т.е. вероятността да уцели неговия си – А, е 1/3. След това за писмото б става по-лесно, тъй като за него са останали само пликовете Б и В, ама това май излиза от условието. Ако а влезе в грешен плик, примерно Б, съответно б не може да влезе в правилен, а вероятността за в е 1/2.
Ако имаме n плика, то вероятността първото от писмата да попадне в неговия си плик е 1/n.
Zадача 1. Vероятността е 2/3
Zадача 2. Vероятността е 9/10
Zадача 3. Vероятността е (n-1)/n
Нека покажа защо решението на Lesna Rabota е грешно. Ще направим „brute force“ за n=3 и n=4. Нека A, Б, В и Г са пликовете, а а, б, в и г са писмата. Да проверим при три писма:
А Б В
а б в Y
а в б Y
б а в Y
б в а N
в а б N
в б а Y
имаме вероятност S(Y)/S(Y+N) = 4/6 или 2/3. Стойността на Lesna Rabota се потвърди. Да проверим за четири писма:
А Б В Г
а б в г Y
а б г в Y
а в б г Y
а в г б Y
а г б в Y
а г в б Y
б а в г Y
б а г в N
б в а г Y
б в г а N
б г а в N
б г в а Y
в а б г Y
в а г б N
в б а г Y
в б г а Y
в г а б N
в г б а N
г а б в N
г а в б Y
г б а в Y
г б в а Y
г в а б N
г в б а N
Тук имаме: S(Y)/S(Y+N) = 15/24 = 5/8
Това определено не е (n-1)/n при n=4…
Отговорът е тук:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rencontres_numbers