* Фокус с матрица

Публикувано на 02 януари 2009 в раздел Математика.

Намерих следната интересна задача от книгата „Математически Развлечения“ на Мартин Гарднер, публикувана в България през 1974г. от изд. „Наука и Изкувство“.

Погледнете следния квадрат (матрица от числа):


     19  08  11  25  07

     12  01  04  18  00

     16  05  08  22  04

     21  10  13  27  09

     14  03  06  20  02

Повечето хора знаят за „магическите квадрати“, в които сумата на всички числа по диагонали и хоризонтали е една и съща. Този квадрат не е такъв. Въпреки това ще ви покажа, че е специален.

Препишете квадрата на лист хартия. Изберете си едно число (напълно произволно) и го оградете с кръгче. След това задраскайте числата по хоризонтала и вертикала спрямо това число.

Сега изберете което и да е число от останалите (тези които не са задраскани или оградени с кръгче). Отново го оградете и задраскайте всички, които са по хоризонтала и вертикала спрямо него.

Продължете по същия начин – накрая ще остане само едно единствено число. Оградете и него с кръгче.

За финал намерете сбора на всички оградени с кръгче числа. Аз съм сигурен, че той ще се окаже числото 57. Познах ли? Опитайте се да откриете защо се получава така.



21 коментара за “Фокус с матрица”

 
  1. sdiankov:
    02 януари 2009 на 20:46

    сборът от числата по централния диагонал на матрицата е 57 (и на двата диагонала). това има математическо доказателство, но не го знам как точно беше формулирано.

     
  2. Филип Петров:
    02 януари 2009 на 21:26

    Добре започваш… Само, че хич не си задължен да избираш числа по главния диагонал – можеш да тръгнеш отвсякъде :)

     
  3. kriska:
    04 януари 2009 на 12:44

    AZ VAOBHTE NE POY4IX SAHTIQ OTGOVOR POY4IX 31

     
  4. Филип Петров:
    04 януари 2009 на 12:46

    kriska – Някъде си сбъркала. Кажи ми кои числа точно си оградила (първи ред третото, втори петото и т.н. – в този стил).

     
  5. Ivelin Danovski:
    04 януари 2009 на 13:39

    ne se polu4ava

     
  6. Ivelin Danovski:
    04 януари 2009 на 13:41

    Sorry- polu4ava se to4no 57

     
  7. Филип Петров:
    04 януари 2009 на 13:45

    Довечера ще ви разкрия тайната и ще ви науча как да си направите свои квадратни матрици с произволни размери и суми.

     
  8. Петър:
    04 януари 2009 на 13:54

    Добра задачка :) Сумата на всички диагонали е 57, а ако не си избрал числа от един и същ диагонал, то от другите са така изчислени, че да компенсират… Абе не мога да го обясня, ама го виждам, ще чакам все пак отговора да видя има ли нещо по-специално.

     
  9. ddd:
    04 януари 2009 на 14:12

    Ако разгледаме всяка квадратна подматрица, без значение от кой ред, забелязваме, че сумата на главния диагонал е равна на сумата на второстепенния.

     
  10. Kateto:
    04 януари 2009 на 14:21

    Наистина сбора на диагоналите е също 57,но от там нататък-пълна загадка…

     
  11. Bobby:
    04 януари 2009 на 14:51

    Погледнете I-вата хоризонтална редица. Първото число е 19; следващото след него се получава като извадим 11 (19-11=8). 3-тото поред число се получава като прибавим 3 към предходното (8+3=11). 4-тото става като прибавим 14 (11+14=25). 5-тото- изваждаме 18 (25-18=7). След това погледнете II хориз. редица. Методът за получаване на числата е същият. Така е във всички редици. (САМО ХОРИЗОНТАЛНИТЕ)
    Като разгледаме и метода за получаване на числата и във ВЕРТИКАЛНИТЕ колони, ще открием, че методът в тях е един и същ, но не същият като в хориз.
    Ако вземе 1-вото число (19) като „х“, таблицата ще има такъв вид:

    x x-11 x-8 x+6 x-12
    x-7 x-18 x-15 x-1 x-19
    x-3 x-14 x-11 x+3 x-15
    x+2 x-9 x-6 x+8 x+10
    x-5 x-16 x-13 x+1 x-17

    Ако следваме инструкциите за избирането и премахването на числата, винаги получаваме 5х-38, което всъщност е числото 57.
    5х-38=57 -> 5х=95 -> х=19 (точно откъдето тръгнахме). Ако направим наша таблица, но вместо 19 сложим друго число и следваме схематичната ми таблица с „х“, ще получим друга „магическа таблица“, но вместо 57, ще получаваме друго число.
    ЧИСЛОТО, КОЕТО ИЗБИРАТЕ ДА Е НА МЯСТОТО НА 19 ТРЯБВА ДА Е ПО-ГОЛЯМО ОТ 19, ЗАЩОТО В ТАБЛИЦАТА ЕДНО ОТ ЧИСЛАТА Е х-19.
    Теорията е моя и наистина не отговаря на въпроса защо се получава все един и същи сбор, но мисля, че е интересна. :)

     
  12. Bobby:
    04 януари 2009 на 15:01

    Първият вид на таблицата нещо не изглежда добре :) Ето може би така е по-нагледна:

    x….x-11…x-8…x+6…x-12

    x-7…x-18…x-15..x-1…x-19

    x-3…x-14…x-11..x+3…x-15

    x+2…x-9….x-6…x+8…x+10

    x-5…x-16…x-13..x+1…x-17

     
  13. Bobby:
    04 януари 2009 на 15:11

    Е sorry, ама пак не изглежда както трябва. Който може да я разчете- добре. Друг начин да ви я покажа няма.

     
  14. Филип Петров:
    04 януари 2009 на 16:07

    Ето го и отговорът:
    Квадратът не е нищо друго освен познатата табица за събиране, но е в необичаен вид. Използвани са две групи числа: {12, 1, 4, 18, 0} и {7, 0, 4, 9, 2}. Сумата на тези числа е 57. Сложете първото множество числа над квадрата, а второто множество от ляво по вертикала и веднага ще разберете откъде идва фокуса. Елементът (1,1) = 12+7, елементът (1,2) = 1+0, …, (2,1) = 12+0, …, (5,5) = 0+2.

    Надявам се, че съм се изразил ясно. Ако не – че начертая графично решението.

    Такива квадрати с различни суми и големини могат да се направят безкрайно много. Възможно е да се слагат отрицателни числа и дроби.

    Ето ви още един популярен магически квадрат, даващ сума 34:

    01 02 03 04
05 06 07 08
09 10 11 12
13 14 15 16

    Съставен е от множествата {1,2,3,4} и {0,4,8,12}.

     
  15. Филип Петров:
    04 януари 2009 на 16:14

    Допълнение – разместването на редове и стълбове на квадратите не променя техните свойства. Възможно е да съставите и подобен квадрат на базата на таблицата за умножение – характерното число ще бъде умножението на числата от множеството.

     
  16. Илиян:
    06 януари 2010 на 16:54

    Интересно ми е как намираме тези множества ( например в 1 задача) ??

     
  17. Филип Петров:
    06 януари 2010 на 17:12

    Имаш в предвид от показана готова матрица да се намерят множествата, които са ползвани за нейното съставяне ли?

     
  18. Илиян:
    06 януари 2010 на 17:18

    Да , ако обясниш ще съм ти много благодарен ~!!!

     
  19. Илиян:
    06 януари 2010 на 17:56

    Оп извинявам се !! Искам да разбера как разбираме тези числа {12, 1, 4, 18, 0} и {7, 0, 4, 9, 2}.

     
  20. Филип Петров:
    06 януари 2010 на 19:22

    Тези числа ние си ги избираме когато конструираме задачата. Можем да си изберем каквито и да е числа – ще се получава различна матрица с различна сума, но ще има същото „магическо“ свойство.

     
  21. Илиян:
    06 януари 2010 на 19:36

    Да ясно !! Благодаря много !!

     

Trackback URI | RSS за коментарите

Пусни коментар


Категории

Нови

Връзки